【題目】已知:△ABC是等腰三角形,動點P在斜邊AB所在的直線上,以PC為直角邊作等腰三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問題:

(1)如圖①,若點P在線段AB上,且AC=1+,PA=,則:

①線段PB= ,PC= ;

②猜想:PA2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖②,若點P在AB的延長線上,在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立,請你利用圖②給出證明過程;

(3)若動點P滿足,求的值.(提示:請利用備用圖進行探求)

【答案】1,2;(2)證明見試題解析;(3

【解析】試題分析:(1在等腰直角三角形ACB中,先求得AB的長,然后根據(jù)PA的長,可求得PB的長;過點CCD⊥AB,垂足為D,從而可求得CDPD的長,然后在Rt三角形CDP中依據(jù)勾股定理可求得PC的長;②△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,從而有:CD=AD=DB,然后根據(jù)AP=DC﹣PD,PB=DC+PD,可證明,在Rt△PCQ中,,則可得出結(jié)論;

2)過點CCD⊥AB,垂足為D,則AP=AD+PD=DC+PD),PB=DP﹣BD=PD﹣DC),可證明,因為在Rt△PCQ中,,則可得出結(jié)論;

3)根據(jù)點P所在的位置畫出圖形,然后依據(jù)題目中的比值關(guān)系求得PD的長(用含有CD的式子表示),然后在Rt△ACPRt△DCP中由勾股定理求得ACPC的長度即可.

試題解析:(1)如圖

①∵△ABC是等腰直直角三角形,AC=,∴AB=AC=∵PA=,∴PB=,作CD⊥ABD,則AD=CD=∴PD=AD﹣PA=,在RT△PCD中,PC==2,故答案為:2;

如圖1∵△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,∴CD=AD=DB∵AP2=AD﹣PD2=DC﹣PD2=DC2﹣2DCPD+PD2,PB2=DB+PD2=DC+DP2=CD2+2DCPD+PD2,∴AP2+BPspan>2=2CD2+2PD2,Rt△PCD中,由勾股定理可知:,∵△CPQ為等腰直角三角形,,

2)如圖:過點CCD⊥AB,垂足為D

∵△ACB為等腰直角三角形,CD⊥AB,∴CD=AD=DB∵AP2=AD+PD2=DC+PD2=CD2+2DCPD+PD2,PB2=DP﹣BD2=PD﹣DC2=DC2﹣2DCPD+PD2∴AP2+BP2=2CD2+2PD2,Rt△PCD中,由勾股定理可知:,,∵△CPQ為等腰直角三角形,,;

3)如圖:過點CCD⊥AB,垂足為D

當點P位于點P1處時.,.在Rt△CP1D中,由勾股定理得:=DC,在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC===DC=

當點P位于點P2處時,,.在Rt△CP2D中,由勾股定理得:==DC,在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC===DC,=

綜上所述,的比值為

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如圖2,固定ABC,使DEC繞點C旋轉(zhuǎn),當點D恰好落在AB邊上時,填空:

①線段DEAC位置關(guān)系是_________;

②設(shè)BDC的面積為S1AEC的面積為S2,則S1S2的數(shù)量關(guān)系是____________.

(2)猜想論證

DEC繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3所示的位置時,小明猜想(1)中S1S2的數(shù)量關(guān)系仍然成立,并嘗試分別作出了BDCAECBC、CE邊上的高,請你證明小明的猜想.

(3)拓展探究

已知∠ABC=60°,點D是其角平分線上一點,BD=CD=4,DE//ABBC于點E(如圖4).若在射線BA上存在點F,使,請直接寫出相應(yīng)的BF的長.

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C. 從上面看這個積木時,看到的圖形面積是45cm2

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