【題目】如圖,一小球從斜坡O點處拋出,球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y= x刻畫.
(1)請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標;
(2)小球的落點是A,求點A的坐標;
(3)連接拋物線的最高點P與點O、A得△POA,求△POA的面積;
(4)在OA上方的拋物線上存在一點M(M與P不重合),△MOA的面積等于△POA的面積.請直接寫出點M的坐標.
【答案】
(1)
解:由題意得,y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
故二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標為(2,4)
(2)
解:聯(lián)立兩解析式可得: ,
解得: ,或 .
故可得點A的坐標為( , )
(3)
解:如圖,作PQ⊥x軸于點Q,AB⊥x軸于點B.
S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
= ×2×4+ ×( +4)×( ﹣2)﹣ × ×
=4+ ﹣
=
(4)
解:過P作OA的平行線,交拋物線于點M,連結(jié)OM、AM,則△MOA的面積等于△POA的面積.
設(shè)直線PM的解析式為y= x+b,
∵P的坐標為(2,4),
∴4= ×2+b,解得b=3,
∴直線PM的解析式為y= x+3.
由 ,解得 , ,
∴點M的坐標為( , ).
【解析】(1)利用配方法拋物線的一般式化為頂點式,即可求出二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標;(2)聯(lián)立兩解析式,可求出交點A的坐標;(3)作PQ⊥x軸于點Q,AB⊥x軸于點B.根據(jù)S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA , 代入數(shù)值計算即可求解;(4)過P作OA的平行線,交拋物線于點M,連結(jié)OM、AM,由于兩平行線之間的距離相等,根據(jù)同底等高的兩個三角形面積相等,可得△MOA的面積等于△POA的面積.設(shè)直線PM的解析式為y= x+b,將P(2,4)代入,求出直線PM的解析式為y= x+3.再與拋物線的解析式聯(lián)立,得到方程組 ,解方程組即可求出點M的坐標.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,函數(shù)y=2x和y=﹣x的圖象分別為直線l1 , l2 , 過點(1,0)作x軸的垂線交l1于點A1 , 過點A1作y軸的垂線交l2于點A2 , 過點A2作x軸的垂線交l1于點A3 , 過點A3作y軸的垂線交l2于點A4 , …依次進行下去,則點A2017的坐標為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點,點C的坐標是(8,4),連接AC,BC.
(1)求過O,A,C三點的拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;
(2)動點P從點O出發(fā),沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動;同時,動點Q從點B出發(fā),沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動.規(guī)定其中一個動點到達端點時,另一個動點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當t為何值時,PA=QA?
(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使以A,B,M為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直立于地面上的電線桿AB,在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC、CD,測得BC=6米,CD=4米,∠BCD=150°,在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°,試求電線桿的高度(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,過正方形ABCD頂點B,C的⊙O與AD相切于點P,與AB,CD分別相交于點E,F(xiàn),連接EF.
(1)求證:PF平分∠BFD;
(2)若tan∠FBC= ,DF= ,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】你會求的值嗎?這個問題看上去很復(fù)雜,我們可以先考慮簡單的情況,通過計算,探索規(guī)律:
(1)由上面的規(guī)律我們可以大膽猜想,得到
=________________
利用上面的結(jié)論,求:
(2)的值。
(3)求的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB為⊙O的直徑,點C、D在⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°.
(1)求BD的長;
(2)求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度,在河的南岸邊點A處,測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向,然后向西走60m到達C點,測得點B在點C的北偏東60°方向,如圖2.
(1)求∠CBA的度數(shù).
(2)求出這段河的寬(結(jié)果精確到1m,備用數(shù)據(jù) ≈1.41, ≈1.73).
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