【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點,點C的坐標(biāo)是(8,4),連接AC,BC.
(1)求過O,A,C三點的拋物線的解析式,并判斷△ABC的形狀;
(2)動點P從點O出發(fā),沿OB以每秒2個單位長度的速度向點B運動;同時,動點Q從點B出發(fā),沿BC以每秒1個單位長度的速度向點C運動.規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時,另一個動點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t秒,當(dāng)t為何值時,PA=QA?
(3)在拋物線的對稱軸上,是否存在點M,使以A,B,M為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:∵直線y=﹣2x+10與x軸,y軸相交于A,B兩點,
∴A(5,0),B(0,10),
∵拋物線過原點,
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,
∵拋物線過點B(0,10),C(8,4),
∴ ,
∴ ,
∴拋物線解析式為y= x2﹣ x,
∵A(5,0),B(0,10),C(8,4),
∴AB2=52+102=125,BC2=82+(10﹣4)2=100,AC2=42+(8﹣5)2=25,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形
(2)
解:如圖1,
當(dāng)P,Q運動t秒,即OP=2t,CQ=10﹣t時,
由(1)得,AC=OA,∠ACQ=∠AOP=90°,
在Rt△AOP和Rt△ACQ中,
,
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ,
∴OP=CQ,
∴2t=10﹣t,
∴t= ,
∴當(dāng)運動時間為 時,PA=QA
(3)
解:存在,
∵y= x2﹣ x,
∴拋物線的對稱軸為x= ,
∵A(5,0),B(0,10),
∴AB=5
設(shè)點M( ,m),
①若BM=BA時,
∴( )2+(m﹣10)2=125,
∴m1= ,m2= ,
∴M1( , ),M2( , ),
②若AM=AB時,
∴( )2+m2=125,
∴m3= ,m4=﹣ ,
∴M3( , ),M4( ,﹣ ),
③若MA=MB時,
∴( ﹣5)2+m2=( )2+(10﹣m)2,
∴m=5,
∴M( ,5),此時點M恰好是線段AB的中點,構(gòu)不成三角形,舍去,
∴點M的坐標(biāo)為:M1( , ),M2( , ),M3( , ),M4( ,﹣ )
【解析】(1)先確定出點A,B坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形;(2)根據(jù)運動表示出OP=2t,CQ=10﹣t,判斷出Rt△AOP≌Rt△ACQ,得到OP=CQ即可;(3)分三種情況用平面坐標(biāo)系內(nèi),兩點間的距離公式計算即可,
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明根據(jù)市自來水公司的居民用水收費標(biāo)準(zhǔn),制定了水費計算數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)的示意圖.(用水量單位:m3,水費單位:元)
(1)根據(jù)轉(zhuǎn)換機(jī)程序計算下列各戶月應(yīng)繳納水費
用戶 | 張大爺 | 王阿姨 | 小明家 |
月用水量/m3 | 6 | 15 | 17 |
月應(yīng)繳納水費/元 |
|
|
|
(2)當(dāng)x>15時,用含x的代數(shù)式表示水費 ;
(3)小麗家10月份水費是70元,小麗家10月份用水 m3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,P是正三角形ABC內(nèi)的一點,且PA=5,PB=12,PC=13,若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后,得到△P′AB,求點P與點P′之間的距離及∠APB的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人參加“中華好詩詞”大賽,在相同的測試條件下,兩人5次測試成績(單位:分)如下: 甲:79,86,82,85,83
乙:88,79,90,81,72.
回答下列問題:
(1)甲成績的平均數(shù)是 , 乙成績的平均數(shù)是;
(2)經(jīng)計算知S甲2=6,S乙2=42.你認(rèn)為選拔誰參加比賽更合適,說明理由;
(3)如果從甲、乙兩人5次的成績中各隨機(jī)抽取一次成績進(jìn)行分析,求抽到的兩個人的成績都大于80分的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在甲、乙兩名同學(xué)中選拔一人參加“中華好詩詞”大賽,在相同的測試條件下,兩人5次測試成績(單位:分)如下: 甲:79,86,82,85,83
乙:88,79,90,81,72.
回答下列問題:
(1)甲成績的平均數(shù)是 , 乙成績的平均數(shù)是;
(2)經(jīng)計算知S甲2=6,S乙2=42.你認(rèn)為選拔誰參加比賽更合適,說明理由;
(3)如果從甲、乙兩人5次的成績中各隨機(jī)抽取一次成績進(jìn)行分析,求抽到的兩個人的成績都大于80分的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了進(jìn)一步改進(jìn)本校七年級數(shù)學(xué)教學(xué),提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,校教務(wù)處在七年級所有班級中,每班隨機(jī)抽取了6名學(xué)生,并對他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況進(jìn)行了問卷調(diào)查.我們從所調(diào)查的題目中,特別把學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喜歡程度的回答(喜歡程度分為:“A﹣非常喜歡”、“B﹣比較喜歡”、“C﹣不太喜歡”、“D﹣很不喜歡”,針對這個題目,問卷時要求每位被調(diào)查的學(xué)生必須從中選一項且只能選一項)結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計,現(xiàn)將統(tǒng)計結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)以上提供的信息,解答下列問題:
(1)補全上面的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖;
(2)所抽取學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)喜歡程度的眾數(shù)是;
(3)若該校七年級共有960名學(xué)生,請你估算該年級學(xué)生中對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“不太喜歡”的有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一小球從斜坡O點處拋出,球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=﹣x2+4x刻畫,斜坡可以用一次函數(shù)y= x刻畫.
(1)請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標(biāo);
(2)小球的落點是A,求點A的坐標(biāo);
(3)連接拋物線的最高點P與點O、A得△POA,求△POA的面積;
(4)在OA上方的拋物線上存在一點M(M與P不重合),△MOA的面積等于△POA的面積.請直接寫出點M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以矩形OCPD的頂點O為原點,它的兩條邊所在的直線分別為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系.以點P為圓心,PC為半徑的⊙P與x軸的正半軸交于A、B兩點.若拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過A,B,C三點,且AB=6.
(1)求⊙P的半徑R的長;
(2)求該拋物線的解析式;
(3)求出該拋物線與⊙P的第四個交點E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某賓館有50個房間供游客居住,當(dāng)每個房間每天的定價為180元時,房間會全部住滿;當(dāng)每個房間每天的定價每增加10元時,就會有一個房間空閑.如果游客居住房間,賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.
(1)若每個房間定價增加40元,則這個賓館這一天的利潤為多少元?
(2)若賓館某一天獲利10640元,則房價定為多少元?
(3)房價定為多少時,賓館的利潤最大?
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