Question

【題目】(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關(guān)系.

解決此問題可以用如下方法：延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證△AEB≌△FEC得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷.AB，AD，DC之間的等量關(guān)系______.

(2)同題探究.

①如圖②，AD是△ABC的中線，AB=6，AC=4，求AD的范圍：

②如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】(1)AD=AB+DC；(2)①1<AD<5；②AB=AF+CF，證明見解析.

【解析】

(1)利用平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，易證∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，從而可以推出∠F=∠DAF，再利用等角對(duì)等邊，可證AD=DF，利用線段中點(diǎn)的定義，可知BE=CE，然后利用AAS證明△ABE≌△FCE，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可證得AB=CF，再根據(jù)DF=DC+CF，可得AB，AD，DC之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)①延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連結(jié)BE，利用SAS證得△ADC≌△EDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得AC=BE，由此將AD，AB，AC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，然后利用三角形的三邊關(guān)系定理，即可求出AD的取值范圍；②延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)已知易得CE=BE，∠BAE=∠G，再利用 AAS證明△AEB≌△GEC，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可證得AB=GC，然后利用角平分線的定義推出∠FAG=∠G，從而可得到FA=FG，然后根據(jù)CG=CF+FG，可證得結(jié)論.

解：(1)AD=AB+DC；

理由：延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

∵AB∥CD，AE平分∠DAB，

∴∠BAE=∠F，∠BAE=∠DAF，

∴∠F=∠DAF，

∴AD=DF，

∵點(diǎn)E是CB的中點(diǎn)，

∴BE=CE，

在△ABE和△FCE中，，

∴△ABE≌△FCE(AAS)，

∴AB=CF，

∵AD=DF=DC+CF，

∴AD=AB+DC；

(2)①延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連結(jié)BE，

∵AD是△ABC的中線，

∴BD=CD，

在△ADC和△EDB中，，

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

∴AC=BE，AE=2AD，

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，

∴2<2AD<10，

∴1<AD<5；

②AB=AF+CF；

證明：延長(zhǎng)AE交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∴E是BC的中點(diǎn)，

∴CE=BE，

∵AB∥DC，

∴∠BAE=∠G，

在△AEB和△GEC中，，

∴△AEB≌△GEC，

∴AB=GC，

∵AE是∠BAF的平分線，

∴∠BAG=∠FAG，

∵∠BAG=∠G，

∴∠FAG=∠G，

∴FA=FG，

∵CG=CF+FG，

∴AB=AF+CF.