【題目】已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．

（1）求證：直線AD是⊙O的切線；

（2）若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為4，求AE的長．

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】（1）先求出∠ABC=30°，進而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，結論得證；

（2）先求出∠AOC=60°，用三角函數(shù)求出AM，再用垂徑定理即可得出結論．

（1）如圖，

∵∠AEC=30°，

∴∠ABC=30°，

∵AB=AD，

∴∠D=∠ABC=30°，

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，∠BAD=120°，

連接OA，∴OA=OB，

∴∠OAB=∠ABC=30°，

∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，

∴OA⊥AD，

∵點A在⊙O上，

∴直線AD是⊙O的切線；

（2）連接OA，∵∠AEC=30°，

∴∠AOC=60°，

∵BC⊥AE于M，

∴AE=2AM，∠OMA=90°，

在Rt△AOM中，AM=OAsin∠AOM=4×sin60°=2，

∴AE=2AM=4．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A(- 1,5)，B(- 1,0)，C(- 4,3)．

（1）求出△ABC的面積；

（2）在圖中作出△ABC關于軸的對稱圖形△A1B1C1；

（3）設P是y軸上的點，要使得點P到點A，C的距離和最小，求點P的坐標．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABD內(nèi)接于圓O，∠BAD=60°，AC為圓O的直徑．AC交BD于P點且PB=2，PD=4，則AD的長為( )

A. 2 B. 2 C. 2 D. 4

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．

（1）求證：OF∥BC；

（2）求證：△AFO≌△CEB；

（3）若EB=5cm，CD=10cm，設OE=x，求x值及陰影部分的面積．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若AE＝3ED＝6，求AB的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，DE⊥AB，垂足為E，若AC=3，AB=5，則DE的長為______.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是BC的中點，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，DC之間的等量關系.

解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點F，易證△AEB≌△FEC得到AB=FC，從而把AB，AD，DC轉化在一個三角形中即可判斷.AB，AD，DC之間的等量關系______.

(2)同題探究.

①如圖②，AD是△ABC的中線，AB=6，AC=4，求AD的范圍：

②如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AF與DC的延長線交于點F，點E是BC的中點，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關系，并證明你的結論.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點，直線與軸、軸分別交于點，，的解析式為，的解析式為且，兩直線的交點。

（1）求直線的解析式；

（2）求四邊形的面積；

（3）當時，直接寫出的取值范圍。

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖,已知A，B，C，D為矩形的四個頂點,AB等于16cm,AD等于6cm,動點P、Q分別從A、C同時出發(fā),點P以3cm每秒的速度向點B移動,一直移動到點B時停止運動，當P點停止運動時Q點也停止運動，點Q以2cm每秒的速度向點D移動。

(1)P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時,四邊形PBCQ的面積為33平方厘米?

(2)P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時,點P與點Q間的距離為10cm?

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