【題目】如圖1,邊長為6的正方形ABCD,動點P、Q各從點A,D同時出發(fā),分別沿邊ADDC方向運動,且速度均為每秒1個單位長度.

1AQBP關系為________________;

2)如圖2,當點P運動到線段AD的中點處時,AQBP交于點E,試探究∠CEQ和∠BCE滿足怎樣的數(shù)量關系;

3)如圖3,將正方形變?yōu)榱庑吻摇?/span>BAD=60°,其余條件不變,設運動t秒后,點P仍在線段AD上,AQBDF,且△BPQ的面積為S,試求S的最小值,及當S取最小值時∠DPF的正切值.

【答案】1AQ=BPAQBP;(2)∠BCE=2CEQ;(3;

【解析】

1)先利用“SAS”證得△ADQ≌△BAP,再利用角的計算,即可證得AQBP,AQ=BP;

2)取AB中點為F,連結CFBEH,證得四邊形QAFC是平行四邊形,再證得CH所在直線是線段BE的中垂線,則CE=BC,從而求得∠BCE=2CEQ;

3)先證得△BPQ為等邊三角形,得到,當PAD中點時,BP最短,從而得到S的最小值;作AMCDM,利用“SAS”證得△DPF≌△DQF,根據∠DPF=DQF即可求解.

1AQBP,AQ=BP,理由如下:

∵動點P,Q各從點AD同時出發(fā),分別沿AD,DC方向運動,且速度均為每秒1個單位長度,
DQ=AP
∵四邊形ABCD是正方形,
AD=BA,∠ADQ=BAP=90°,
在△ADQ和△BAP中,

,
∴△ADQ≌△BAPSAS),
AQ=BP,且∠DAQ=ABP
又∵∠DAQ+BAQ=90°,
∴∠ABP+BAQ=90°,
∴∠AEB=90°,
AQBP;

2)證明:取AB中點為F,連結CFBEH,

∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形,

CDAB,

DQ=CQ=3AF=FB=3,

CQ= AF,

∴四邊形QAFC是平行四邊形,

CFAQ

AQBP,

CFBP,

FHAE,且FAB中點,

HEB中點,即BH=EH

CH所在直線是線段BE的中垂線,

CE=CB,

∴∠ECH=BCH,

CHAQ

∴∠HCE=QEC

∴∠BCE=2ECH=2CEQ,

3)∵四邊形ABCD是菱形,且∠BAD=60°,

AD=AB,CDAB

∴△ABD為等邊三角形,∠DBA=BDQ,

∴∠BAP=BDQ=60°,BD=BA,

∵動點P,Q各從點AD同時出發(fā),分別沿AD,DC方向運動,且速度均為每秒1個單位長度,
DQ=AP
在△BDQ和△BAP中,

,
∴△BDQ≌△BAPSAS),
BQ=BP,且∠DBQ=ABP,
又∵∠ABP +PBD=60°,
∴∠DBQ +PBD =60°,即∠PBQ=60°,

∴△BPQ為等邊三角形,

QGBPG

,

當且僅當BPAD時,即PAD中點時,BP最短,

BP

,

連結PF,過點AAMCDCD延長線于M,

AP=PD=DQ=AD=3,

在△DPF和△DQF中,

,

∴△DPF≌△DQFSAS),

RtADM中,AD=6,∠ADM=180-ADB-QDB =60°,

,

tanDPF=tanDQF=

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