Question

14．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點D．E在直線BC上．如圖1，若∠DAE=45°，求證：BD²+CE²=DE²．
【閱讀理解】要證明BD²+CE²=DE²，可設法將BD，CE，DE轉化為某直角三角形的三邊即可，故過A作AF⊥AD．且AF=AD．連接CF、EF．再通過證明△ABD≌△AcF，△AED≌△AEF．即可將BD，CE，DE三邊轉化到直角△ECF中解決問題．
【拓展應用】如圖2，若∠DAE=135°，其他條件不變，請?zhí)骄浚阂跃�段BE，CD，DE的長度為三邊長的三角形是何種三角形？并說明理由．

Answer 1

分析 閱讀理解：如圖1中，過A作AF⊥AD．且AF=AD．連接CF、EF，由△EAD≌△EAF，推出DE=EF，由∠BAD+∠CAE=45°，∠CAE+∠CAF=45°，推出∠BAD=∠CAE，由△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF=45°，由EF²=EC²+CF²，即可推出DE²=BD²+CE²．
拓展應用：如圖2中，結論：以線段BE，CD，DE的長度為三邊長的三角形是直角三角形．作AF⊥AE，使得AF=AE，連接DF、CF．只要證明△FAC≌△EAB，△DAF≌△DAE，即可解決問題．

解答 閱讀理解：證明：如圖1中，過A作AF⊥AD．且AF=AD．連接CF、EF，

∵∠DAE=45°，∠DAF=90°，
∴∠DAE=∠EAF=45°，
在△EAD和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=EA}\\{∠EAD=∠EAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAD≌△EAF，
∴DE=EF，
∵∠BAD+∠CAE=45°，∠CAE+∠CAF=45°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ECF=90°，
∴EF²=EC²+CF²，
∴DE²=BD²+CE²．

拓展應用：解：如圖2中，結論：以線段BE，CD，DE的長度為三邊長的三角形是直角三角形．
理由：作AF⊥AE，使得AF=AE，連接DF、CF．

∵∠EAF=∠BAC=90°，
∴∠FAC=∠EAB，
在△FAC和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{∠FAC=∠EAB}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△FAC≌△EAB，
∴BE=CF，∠ACF=∠EBA=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∵∠DAE=135°，∠EAF=90°，
∴∠DAF=360°-135°-90°=135°，
∴∠DAF=∠DAE，
∵AD=AD，AF=AE，
∴△DAF≌△DAE，
∴DF=DE，
在Rt△DCF中，∵DF²=DC²+CF²，
∴DE²=DC²+BE²，
∴以線段BE，CD，DE的長度為三邊長的三角形是直角三角形．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．