【題目】如圖1,拋物線,經(jīng)過A10)、B70)兩點,交y軸于D點,以AB為邊在x軸上方作等邊△ABC

1)求拋物線的解析式;

2)在x軸上方的拋物線上是否存在點M,是SABM=SABC?若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

3)如圖2,E是線段AC上的動點,F是線段BC上的動點,AFBE相交于點P

①若CE=BF,試猜想AFBE的數(shù)量關(guān)系及∠APB的度數(shù),并說明理由;

②若AF=BE,當(dāng)點EA運動到C時,請直接寫出點P經(jīng)過的路徑長(不需要寫過程).

【答案】1;(2)點M的坐標(biāo)為(9,4)或(﹣1,4);(3)①AF=BE,∠APB=120°;②

【解析】解:(1)根據(jù)題意,可設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+

∵將點A、B的坐標(biāo)代入得: 解得:a=b=﹣2,

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+

(2)存在點M,使得S△AMB=S△ABC

理由:如圖所示:過點CCKx軸,垂足為K

∵△ABC為等邊三角形,

AB=BC=AC=6,∠ACB=60°.

CKAB,

KA=BK=3,∠ACK=30°.

CK=3

SABC=ABCK=×6×3=9

SABM=×=12.

設(shè)M(a,a2﹣2a+).

AB|yM|=12,即×6×(a2﹣2a+)=12.

解得=9, =﹣1.

M1(9,4),M2(﹣1,4).

(3)①結(jié)論:AF=BE,∠APB=120°.

理由:如圖所示;

∵△ABC為等邊三角形,

BC=AB,∠C=∠ABF

∵在△BEC和△AFB中, ,

∴△BEC≌△AFB

AF=BE,∠CBE=∠BAF

∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°.

∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=180°﹣60°=120°.

②點P經(jīng)過的路徑長為3

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