Question

【題目】若變量z是變量y的函數(shù)，同時(shí)變量y是變量x的函數(shù)，那么我們把變量z叫做變量x的“迭代函數(shù)”.

例如：z2y3，yx1，則z2x132x1，那么z2x1就是z與x之間的“迭代函數(shù)”解析式.

（1）當(dāng)2006x2020時(shí)，zy2，，請(qǐng)求出z與x之間的“迭代函數(shù)”的解析式及z的最小值；

（2）若z2ya，yax24axba0，當(dāng)1x3時(shí)，“迭代函數(shù)”z的取值范圍為1z17，求a和b的值；

（3）已知一次函數(shù)yax1經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,2，zay2b2ycb4（其中a、b、c均為常數(shù)），聰明的你們一定知道“迭代函數(shù)”z是x的二次函數(shù)，若x1、x2（x1x2）是“迭代函數(shù)”z3的兩個(gè)根，點(diǎn)x3,2是“迭代函數(shù)”z的頂點(diǎn)，而且x1、x2、x3還是一個(gè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)，請(qǐng)破解“迭代函數(shù)”z關(guān)于x的函數(shù)解析式.

Answer 1

【答案】（1）z= -x+6；-1004；（2）或；（3）

【解析】

（1）把代入zy2中化簡(jiǎn)即可得出答案；

（2）把yax24axba0代入z2ya整理得z=2a(x-2) 2-7a+2b,再分兩種情況討論，分別得方程組和，求解即可得；

（3）把（1，2）代入y=ax+1解得a=1，得出y=x+1，再將y=x+1代入z=ay2+（b-2）y+c-b+4得，根據(jù)點(diǎn)x3,2是“迭代函數(shù)”z的頂點(diǎn)得出，再根據(jù)當(dāng)z=3時(shí)， 解得，又x1、x2、x3是一個(gè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)得，代入解得b=-8,c=15,從而得解。

解：（1）把代入zy2中得：

z（）2= -x+6

∵-＜0，

∴z隨著x的增大而減小，

∵2006 x2020 ，

∴當(dāng)x=2020時(shí)，z有最小值，最小值為z= -×2020+6=-1004

故答案為：z= -x+6；-1004

（2）把yax24axba0代入z2ya，得

z2（ax24axb）a

=2ax28axba，

=2a(x-2) 2-7a+2b

這是一個(gè)二次函數(shù)，圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2，

當(dāng)a＞0時(shí)，由函數(shù)圖象的性質(zhì)可得x=-1時(shí)，z=17;x=3時(shí)，z=-1;

∴

解得

當(dāng)a＜0時(shí)，由函數(shù)圖象的性質(zhì)可得x=-1時(shí)，z=-1;x=3時(shí)，z=17;

∴

解得

綜上，或

（3）把（1，2）代入y=ax+1得a+1=2

解得a=1

∴y=x+1

把y=x+1代入z=ay2+（b-2）y+c-b+4并整理得

∵點(diǎn)x3,2是“迭代函數(shù)”z的頂點(diǎn),

整理得

當(dāng)z=3時(shí)，

解得

又∵x1x2

∴x1 x3x2

又∵x1、x2、x3還是一個(gè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)

∴

即

解得

∴

把代入

解得c=15

∴

故答案為：