【題目】綜合與探究:
如圖,拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交與A,B兩點(點B在點A的右側),與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊,點O為對稱中心作菱形BDEC,點P是x軸上的一個動點,設點P的坐標為(m,0),過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.
(1)求點A,B,C的坐標.
(2)當點P在線段OB上運動時,直線l分別交BD,BC于點M,N.試探究m為何值時,四邊形CQMD是平行四邊形,此時,請判斷四邊形CQBM的形狀,并說明理由.
(3)當點P在線段EB上運動時,是否存在點Q,使△BDQ為直角三角形?若存在,請直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)點A的坐標為(﹣2,0),點B的坐標為(8,0).點C的坐標為(0,﹣4);
(2)當m=4時,四邊形CQMD是平行四邊形;
(3)符合題意的點Q的坐標為(﹣2,0)或(6,﹣4).
【解析】試題分析:(1)根據(jù)坐標軸上點的特點,可求點A,B,C的坐標.
(2)由菱形的對稱性可知,點D的坐標,根據(jù)待定系數(shù)法可求直線BD的解析式,根據(jù)平行四邊形的性可得關于m的方程,求得m的值;再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀;
(3)分DQ⊥BD,BQ⊥BD兩種情況討論可求點Q的坐標.
試題解析:(1)當y=0時, x2-x-4=0,解得x1=-2,x2=8,
∵點B在點A的右側,
∴點A的坐標為(-2,0),點B的坐標為(8,0).
當x=0時,y=-4,
∴點C的坐標為(0,-4).
(2)由菱形的對稱性可知,點D的坐標為(0,4).
設直線BD的解析式為y=kx+b,則,
解得k=-,b=4.
∴直線BD的解析式為y=-x+4.
∵l⊥x軸,
∴點M的坐標為(m,-m+4),點Q的坐標為(m, m2-m-4).
如圖,當MQ=DC時,四邊形CQMD是平行四邊形,
∴(-m+4)-(m2-m-4)=4-(-4).
化簡得:m2-4m=0,
解得m1=0(不合題意舍去),m2=4.
∴當m=4時,四邊形CQMD是平行四邊形.
此時,四邊形CQBM是平行四邊形.
∵m=4,
∴點P是OB的中點.
∵l⊥x軸,
∴l(xiāng)∥y軸,
∴△BPM∽△BOD,
∴,
∴BM=DM,
∵四邊形CQMD是平行四邊形,
∴DM∥CQ,DM=CQ
∴BM∥CQ,BM=CQ,
∴四邊形CQBM是平行四邊形.
(3)拋物線上存在兩個這樣的點Q,分別是Q1(-2,0),Q2(6,-4).
若△BDQ為直角三角形,可能有三種情形,如圖2所示:
以點Q為直角頂點.
此時以BD為直徑作圓,圓與拋物線的交點,即為所求之Q點.
∵P在線段EB上運動,
∴-8≤xQ≤8,而由圖形可見,在此范圍內,圓與拋物線并無交點,
故此種情形不存在.
以點D為直角頂點.
連接AD,∵OA=2,OD=4,OB=8,AB=10,
由勾股定理得:AD=2,BD=4,
∵AD2+BD2=AB2,
∴△ABD為直角三角形,即點A為所求的點Q.
∴Q1(-2,0);
以點B為直角頂點.
如圖,設Q2點坐標為(x,y),過點Q2作Q2K⊥x軸于點K,則Q2K=-y,OK=x,BK=8-x.
易證△Q2KB∽△BOD,
∴,即,整理得:y=2x-16.
∵點Q在拋物線上,
∴y=x2-x-4.
∴x2-x-4=2x-16,解得x=6或x=8,
當x=8時,點Q2與點B重合,故舍去;
當x=6時,y=-4,
∴Q2(6,-4).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,A、B為x軸上兩點,C、D為y軸上的兩點,經(jīng)過點A、C、B的拋物線的一部分c1與經(jīng)過點A、D、B的拋物線的一部分c2組合成一條封閉曲線,我們把這條封閉曲線成為“蛋線”.已知點C的坐標為(0,﹣ ),點M是拋物線C2:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的頂點.
(1)求A、B兩點的坐標;
(2)“蛋線”在第四象限上是否存在一點P,使得△PBC的面積最大?若存在,求出△PBC面積的最大值;若不存在,請說明理由;
(3)當△BDM為直角三角形時,求m的值.
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【題目】如圖,在邊長為12的正方形ABCD中,E是邊CD的中點,將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交BC于點G.則BG的長為( 。
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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【題目】我市從2018年1月1日開始,禁止燃油助力車上路,于是電動自行車的市場需求量日漸增多.某商店計劃最多投入8萬元購進A、B兩種型號的電動自行車共30輛,其中每輛B型電動自行車比每輛A型電動自行車多500元.用5萬元購進的A型電動自行車與用6萬元購進的B型電動自行車數(shù)量一樣.
(1)求A、B兩種型號電動自行車的進貨單價;
(2)若A型電動自行車每輛售價為2800元,B型電動自行車每輛售價為3500元,設該商店計劃購進A型電動自行車m輛,兩種型號的電動自行車全部銷售后可獲利潤y元.寫出y與m之間的函數(shù)關系式;
(3)在(2)的條件下,該商店如何進貨才能獲得最大利潤?此時最大利潤是多少元?
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【題目】已知a是最大的負整數(shù),,c是-4的相反數(shù),且a,b,c分別是點A.B.C在數(shù)軸上對應的數(shù).
(1)求a,b,c的值,并在數(shù)軸上標出點A,B,C;
(2)在數(shù)軸上,若D到A的距離剛好是3,則D點叫做A的“幸福點”.則A的幸福點D所表示的數(shù)應該是_______________.
(3)若動點P從點B出發(fā)沿數(shù)軸向正方向運動,動點Q同時從點A出發(fā)也沿數(shù)軸向正方向運動,點P的速度是每秒3個單位長度,點Q的速度是每秒1個單位長度,求運動幾秒后,點P可以追上點Q?
(4)在數(shù)軸上,若M到A,C的距離之和為6,則M叫做A,C的“幸福中心”.請直接寫出所有點M在數(shù)軸上對應的數(shù).
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【題目】若變量z是變量y的函數(shù),同時變量y是變量x的函數(shù),那么我們把變量z叫做變量x的“迭代函數(shù)”.
例如:z2y3,yx1,則z2x132x1,那么z2x1就是z與x之間的“迭代函數(shù)”解析式.
(1)當2006x2020時,zy2,,請求出z與x之間的“迭代函數(shù)”的解析式及z的最小值;
(2)若z2ya,yax24axba0,當1x3時,“迭代函數(shù)”z的取值范圍為1z17,求a和b的值;
(3)已知一次函數(shù)yax1經(jīng)過點1,2,zay2b2ycb4(其中a、b、c均為常數(shù)),聰明的你們一定知道“迭代函數(shù)”z是x的二次函數(shù),若x1、x2(x1x2)是“迭代函數(shù)”z3的兩個根,點x3,2是“迭代函數(shù)”z的頂點,而且x1、x2、x3還是一個直角三角形的三條邊長,請破解“迭代函數(shù)”z關于x的函數(shù)解析式.
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【題目】在抗洪搶險中,解放軍戰(zhàn)士的沖鋒舟加滿油沿東西方向的河流搶救災民,早晨從地出發(fā),晚上到達地,約定向東為正方向,當天的航行路程記錄如下(單位:千米):,,,,,,,.
(1)請你幫忙確定地位于地的什么方向,距離地多少千米?
(2)若沖鋒舟每千米耗油升,郵箱容量為升,求沖鋒舟當天救災過程中至少還需補充多少升油?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了了解重慶市的空氣質量情況,我校初2017級“綜合實踐環(huán)境調查”小組從環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)隨機抽取了若干天的空氣質量作為樣本進行統(tǒng)計,繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖(部分信息未給出):
(1)課題小組隨機抽取的天數(shù)為_______天,請將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)為找出優(yōu)化環(huán)境的措施,“環(huán)境治理研討小組”的同學欲從天氣質量為“中度污染”和“重度污染”的樣本中隨機抽取兩天分析污染原因,請用列表或畫樹狀圖的方法求出所抽取的兩天恰好都是“重度污染”的概率.
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