Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1,0）和點(diǎn)B （0，-3），與x軸交于另一點(diǎn)C。

（1）求拋物線的解析式。

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使△ACD的面積與△ABC的面積相等（點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合）？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（3）若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，那么是否存在這樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為:. (2)D（-2，-3）（-1±，3）(3) P（-5，12）（3，12）（-1，-4）

【解析】

（1）由待定系數(shù)法，把點(diǎn)A、B代入解析式，求出a、b的值，即可得到答案；

（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，得到AC和OB的長(zhǎng)度，計(jì)算出面積，根據(jù)面積相等，則設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），求出y的值，然后代入二次函數(shù)解析式求出x，即可得到答案；

（3）根據(jù)題意，可分為AC為對(duì)角線和AC為邊長(zhǎng)，兩種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

解：（1）把點(diǎn)A （1，0）和點(diǎn)B （0，-3）代入二次函數(shù)解析式，則

，解得：，

∴拋物線的解析式為：.

（2）存在；

由（1）可知，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為：（-3，0），

∴AC=4，OB=3，

∴△ABC的面積為：；

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為（x，y），則

，

解得：，

∴.

當(dāng)時(shí)，有，

解得：，

∴點(diǎn)D為：（-1±，3）；

當(dāng)時(shí)，有，

解得：，

當(dāng)時(shí)為點(diǎn)B，舍去，

∴點(diǎn)D為（）；

綜合上述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-1±，3）或（）；

（3）存在；

以點(diǎn)A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則分為兩種情況：

當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí)，如圖：此時(shí)點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，且點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，代入拋物線解析式，得

，

則點(diǎn)P坐標(biāo)為：（）；

②當(dāng)AC為邊長(zhǎng)時(shí)，如圖，此時(shí)PQ∥AC，PQ=AC=4，

，

∵點(diǎn)Q在直線上，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：或，

當(dāng)時(shí)，有，

∴點(diǎn)P為：（3，12）；

當(dāng)時(shí)，有，

∴點(diǎn)P為：（-5，12）；

綜合上述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-5，12）或（3，12）或（-1，-4）.