Question

11．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)長(zhǎng)方形ABCD，AB∥y軸，點(diǎn)A（1，1），點(diǎn)C（a，b），滿足$\sqrt{a-5}$+|b-3|=0．

（1）求長(zhǎng)方形ABCD的面積．
（2）如圖2，長(zhǎng)方形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，同時(shí)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)沿x軸以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t=4時(shí)，直接寫出三角形OAC的面積為3；
②若AC∥ED，求t的值；
（3）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（x，y），我們把點(diǎn)P′（-y+1，x+1）叫做點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)，已知點(diǎn)A₁的伴隨點(diǎn)為A₂，點(diǎn)A₂的伴隨點(diǎn)為A₃，點(diǎn)A₃的伴隨點(diǎn)為A₄，…，這樣依次得到點(diǎn)A₁，A₂，A₃，…，A_n．
①若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（3，1），則點(diǎn)A₃的坐標(biāo)為（-3，1），點(diǎn)A₂₀₁₄的坐標(biāo)為（0，4）；
②若點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（a，b），對(duì)于任意的正整數(shù)n，點(diǎn)A_n均在x軸上方，則a，b應(yīng)滿足的條件為-1＜a＜1，0＜b＜2．

Answer 1

分析 （1）由$\sqrt{a-5}$+|b-3|=0，各項(xiàng)非負(fù)即可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象，能找出其它幾點(diǎn)的坐標(biāo)，從而能得出長(zhǎng)方形ABCD的面積；
（2）①拆分三角形，求出各個(gè)圖形的面積即可求得；
②根據(jù)平移前A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，找出平移后點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線DE的一次項(xiàng)系數(shù)k值，由AC∥ED即可得出關(guān)于t的分式方程，解之并檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（3）由伴隨點(diǎn)的定義，可以找出數(shù)據(jù)的各個(gè)數(shù)值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由規(guī)律即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵$\sqrt{a-5}$+|b-3|=0，
∴a-5=0，b-3=0，即a=5，b=3，
∵四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，
∴點(diǎn)B（1，3），點(diǎn)C（5，3），點(diǎn)D（5，1），
∴AB=3-1=2，BC=5-1=4，
長(zhǎng)方形ABCD的面積為AB×BC=2×4=8．
（2）①將t=4時(shí)，線段AC拿出來，放在圖3中，各字母如圖，

∵點(diǎn)A′（5，1），點(diǎn)C′（9，3），
∴OM=5，ON=9，A′M=1，C′N=3，MN=ON-OM=4，
三角形OA′C′的面積=$\frac{1}{2}$ON•C′N-$\frac{1}{2}$OM•A′M-$\frac{1}{2}$（A′M+C′N）•MN=$\frac{27}{2}$-$\frac{5}{2}$-$\frac{16}{2}$=$\frac{6}{2}$=3．
故答案為：3．
②設(shè)長(zhǎng)方形平移前直線AC的解析式為y=mx+n，
將A（1，1）、C（5，3）代入y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{m+n=1}\\{5m+n=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴長(zhǎng)方形平移前直線AC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，點(diǎn)D（5+t，1），E（2t，0），
設(shè)此時(shí)直線DE的解析式為y=kx+b₁，
將（5+t，1）、E（2t，0）代入y=kx+b₁，
$\left\{\begin{array}{l}{（5+t）k+_{1}=1}\\{2tk+_{1}=0}\end{array}\right.$，解得：k=$\frac{1}{5-t}$．
∵AC∥ED，
∴k=$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{5-t}$=$\frac{1}{2}$，
解得：t=3，
經(jīng)檢驗(yàn)，t=3是原方程的解，
故當(dāng)AC∥ED，t的值為3秒．
（3）①根據(jù)題意可知：A₁（3，1），A₂（0，4），A₃（-3，1），A₄（0，-2），A₅（3，1），
由此發(fā)現(xiàn)此組數(shù)據(jù)以4個(gè)為一組進(jìn)行循環(huán)，
2014÷4=503…2，即A₂₀₁₄=A₂，
故答案為：（-3，1）；（0，4）．
②根據(jù)題意可知：A₁（a，b），A₂（1-b，a+1），A₃（-a，2-b），A₄（b-1，1-a），A₅（a，b），
由此發(fā)現(xiàn)此組數(shù)據(jù)以4個(gè)為一組進(jìn)行循環(huán)，
∵對(duì)于任意的正整數(shù)n，點(diǎn)A_n均在x軸上方，則有$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+1＞0}\\{2-b＞0}\\{1-a＞0}\end{array}\right.$，
解得-1＜a＜1，0＜b＜2．
故答案為：-1＜a＜1，0＜b＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的面積，平行線的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、兩直線平行或相交以及數(shù)的變換規(guī)律，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)算術(shù)平方根即絕對(duì)值的非負(fù)性求出a、b值；（2）①拆分三角形，求出各部分圖形的面積②由兩直線平行，找出關(guān)于t的分式方程；（3）利用伴隨點(diǎn)的定義找到規(guī)律．