Question

6．如圖，點O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使FC=EC，連結DF交BE的延長線于點H，連結OH交DC于點G，連結HC．則以下四個結論①OH=$\frac{1}{2}$BF； ②∠CHF=45°； ③GH=$\frac{1}{4}$BC；④DH²=HE•HB中正確結論為①②④．（填序號）

Answer 1

分析 根據(jù)已知對各個結論進行分析，從而確定正確的個數(shù)．①作EJ⊥BD于J，連接EF，由全等三角形的判定定理可得△DJE≌△ECF，再由平行線的性質得出OH是△DBF的中位線即可得出結論；
②根據(jù)四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出結論；
③根據(jù)OH是△BFD的中位線，得出GH=$\frac{1}{2}$CF，由GH＜$\frac{1}{4}$BC，可得出結論；
④由相似三角形的判定定理得出△DHG∽△BDH，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可得出結論．

解答 解：作EJ⊥BD于J，連接EF
①∵BE平分∠DBC
∴EC=EJ，
∴△DJE≌△ECF
∴DE=FE
∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°
∴∠HFE=$\frac{45°}{2}$=22.5°
∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°
∵DH=HF，OH是△DBF的中位線
∴OH∥BF
∴OH=$\frac{1}{2}$BF
②∵四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線，
∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，
∵CE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴∠EBC=∠CDF=22.5°，
∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，
∵OH是△DBF的中位線，CD⊥AF，
∴OH是CD的垂直平分線，
∴DH=CH，
∴∠CDF=∠DCH=22.5°，
∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故②正確；
③∵OH是△BFD的中位線，
∴DG=CG=$\frac{1}{2}$BC，GH=$\frac{1}{2}$CF，
∵CE=CF，
∴GH=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$CE
∵CE＜CG=$\frac{1}{2}$BC，
∴GH＜$\frac{1}{4}$BC，故此結論不成立；
④∵∠DBE=45°，BE是∠DBF的平分線，
∴∠DBH=22.5°，
由②知∠HBC=∠CDF=22.5°，
∴∠DBH=∠CDF，
∵∠BHD=∠BHD，
∴△DHE∽△BHD，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{HE}{DH}$，
∴DH²=HE•HB，故④成立；
所以①②④正確．
故答案為①②④．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，正方形的性質等，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質結合角平分線的性質逐步解答．