Question

6．如圖，直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．
（1）求A、B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P，使得△PAB的周長(zhǎng)最小，并求出最小值；
（4）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）對(duì)于直線y=3x+3，分別令x與y為0求出對(duì)應(yīng)y與x的值，確定出A與B坐標(biāo)即可；
（2）根據(jù)A，C坐標(biāo)，設(shè)出拋物線解析式，將C坐標(biāo)代入即可確定出解析式；
（3）連接BC，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，連接AP，此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)最小，并求出最小值即可；
（4）在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形，分四種情況考慮，求出滿足題意Q坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）對(duì)于直線y=3x+3，
令x=0，得到y(tǒng)=3；令y=0，得到x=-1，
則A（-1，0），B（0，3）；  
（2）由A（-1，0），C（3，0），設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
把B（0，3）代入得：3=-3a，即a=-1，
則拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；
（3）連接BC，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，連接AP，由對(duì)稱性得AP=CP，如圖1所示，此時(shí)△ABP周長(zhǎng)最小，

由拋物線解析式y(tǒng)=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，得到對(duì)稱軸為直線x=1，
設(shè)直線BC解析式為y=mx+n，
將B（0，3），C（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：m=-1，n=3，即直線BC解析式為y=-x+3，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即P（1，2），
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得：AB=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，BC=$\sqrt{（0-3）^{2}+（3-0）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
則P（1，2），周長(zhǎng)為AB+BP+AP=AB+BP+PC=AB+BC=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$；
（4）在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形，
如圖2所示，分四種情況考慮：

當(dāng)AB=AQ₁=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$時(shí)，
在Rt△AQ₁Q₃中，AQ₃=2，AQ₁=$\sqrt{10}$，
根據(jù)勾股定理得：Q₁Q₃=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$，此時(shí)Q₁（1，$\sqrt{6}$）；
由對(duì)稱性可得Q₂（1，-$\sqrt{6}$）；
當(dāng)AB=BQ₃時(shí)，可得OQ₃=OA=1，此時(shí)Q₃（1，0）；
當(dāng)AQ₄=BQ₄時(shí)，Q₄為線段AB垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，
∵A（-1，0），B（0，3），
∴直線AB斜率為$\frac{0-3}{-1-0}$=3，中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∴線段AB垂直平分線方程為y-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{3}$（x+$\frac{1}{2}$），
令x=1，得到y(tǒng)=1，此時(shí)Q₄（1，1），
綜上，Q的坐標(biāo)為（1，$\sqrt{6}$）或（1，-$\sqrt{6}$）或（1，0）或（1，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線定理，勾股定理，以及對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．