Question

15．Rt△DEF與等腰△ABC如圖放置（點A與F重合，點D，A，B在同一直線上），AD=3，AB=BC=4，∠EDF=30°，∠ABC=120°．
（1）求證：ED∥AC；
（2）Rt△DEF沿射線AB方向平移，平移距離為a，當點D與點B重合時停止移動：
①當E在BC上時，求a；
②設△DEF與△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與平移距離a之間的函數(shù)關系式，并寫出相應的自變量a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知求出∠CAD=30°，根據(jù)同位角相等進行證明即可；
（2）①過點E和點E的對應點向BD作垂線，根據(jù)平移的性質和三角函數(shù)求解即可；
②根據(jù)平移的距離判斷重合部分形狀，根據(jù)面積公式求解即可．

解答 解：（1）∵AB=BC，∠ABC=120°，
∴∠CAB=∠C=（180°-120°）÷2=30°，
∴∠CAB=∠EDF=30°，
∴ED∥AC；
（2）如圖：

①過點E作EG⊥AD，
∵在Rt△DEF中，∠EDF=30°，DF=3，
∴DE=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$EG=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$，
∴GF=$\frac{3}{4}$，
∴a=2GF+AB=$\frac{11}{2}$；
②$S=\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}（0≤a≤3）}\\{\frac{9}{8}\sqrt{3}（3＜a≤4）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}+2\sqrt{3}-\frac{23}{8}\sqrt{3}（4＜a≤\frac{11}{2}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}-\frac{7}{2}a+\frac{49}{4}\sqrt{3}（\frac{11}{2}＜a≤7）}\end{array}\right.$

點評 此題主要考查平移的綜合問題，會證明全等三角形，會運用平移的性質表示線段并求值，會分情況討論表示圖形面積是解題的關鍵．