Question

18．如圖，O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：
①△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到；
②點(diǎn)O與O′的距離為4；
③∠AOB=150°；   
④四邊形AO BO′的面積為6+3$\sqrt{3}$；   
⑤S_△AOC+S_△AOB=6+$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$．
其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②③④
• C． ①②③⑤
• D． ①②③④⑤

Answer 1

分析 證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；
由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；
在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故△AOO′是直角三角形；進(jìn)而求得∠AOB=150°，故結(jié)論③正確；
S四邊形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO′=6+4$\sqrt{3}$，故結(jié)論④錯(cuò)誤；
如圖②，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將S_△AOC+S_△AOB轉(zhuǎn)化為S_△COO″+S_△AOO″，計(jì)算可得結(jié)論⑤正確．

解答 解：由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
在△BO′A和△BOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=O′B}\\{∠1=∠3}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BO′A≌△BOC（SAS），
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，
故結(jié)論①正確；
如圖①，連接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′=OB=4．
故結(jié)論②正確；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三邊長(zhǎng)為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故結(jié)論③正確；
S四邊形AOBO′=S_△AOO′+S_△OBO′=$\frac{1}{2}$×3×4+$\sqrt{3}$×4²=6+4$\sqrt{3}$，
故結(jié)論④錯(cuò)誤；
如圖②所示，將△AOB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使得AB與AC重合，點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至O″點(diǎn)．
易知△AOO″是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△COO″是邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形，
則S_△AOC+S_△AOB=S_{四邊形AOCO″}=S_△COO″+S_△AOO″=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²=6+$\frac{9}{4}$，
故結(jié)論⑤正確．
綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③⑤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點(diǎn)．在判定結(jié)論⑤時(shí)，將△AOB向不同方向旋轉(zhuǎn)，體現(xiàn)了結(jié)論①-結(jié)論④解題思路的拓展應(yīng)用．