Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（0，6），B（$2\sqrt{3}$，0），且∠OBA=60°，將△OAB沿直線(xiàn)AB翻折，得到△CAB，點(diǎn)O與點(diǎn)C對(duì)應(yīng)．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿折線(xiàn)O--A--C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)△FOB的面積為S（S≠0），點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t的關(guān)系式，并直接寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B作x軸垂線(xiàn)，交AC于點(diǎn)E，在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF是以BE為腰的等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）連接OC，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥x軸于H點(diǎn)，易證△OAC是等邊三角形，則OC=OA，在直角△OCH中，利用三角函數(shù)求得CH和OH，則C的坐標(biāo)即可求得；
（2）分成當(dāng)0＜t≤3和3＜t≤6兩種情況，利用三角形的面積公式即可求解；
（3）分成B是頂角頂點(diǎn)和E是頂角頂點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）連接OC，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥x軸于H點(diǎn)．
∵折疊△OAB，
∴OA=AC，∠OBA=∠CBA=60°，OB=CB，∠CBH=60°
∴△OAC是等邊三角形
∴∠BCH=30°
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$x2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，OH=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∵OC=OA=6，∠，COH=30°
∴CH=$\frac{1}{2}$×6=3．
∴C（3$\sqrt{3}$，3）；
（2）當(dāng)0＜t≤3時(shí)：
OF=2t，S=$\frac{{2t×2\sqrt{3}}}{2}$=2$\sqrt{3}$t；
當(dāng)3＜t≤6時(shí)：
AF=2t-6，
AG=t-3，OG=6-（t-3）=9-t，
S=$\frac{{2\sqrt{3}×（9-t）}}{2}$=9$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t；
（3）如圖∵BE∥OA
∴∠ABE=∠OAB=30°
∴∠EBC=30°
∴CE=$\frac{1}{2}$BE，BE=AE
∴BE=4．           
當(dāng)E時(shí)頂角頂點(diǎn)時(shí)，
∵∠ABE=30°，∠BAC=30°，則當(dāng)F運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，△BEF為等腰三角形，即t=3；
當(dāng)B是頂角頂點(diǎn)時(shí)，即BF=BE時(shí)，△BOF≌△BCE，
∴OF=CE=2
∴t=1．
此時(shí)，△BEF為等邊三角形．
綜上所述，t=1或t=3時(shí)，△BEF是以BE為腰的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的折疊，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確對(duì)P的位置以及等腰△BEF進(jìn)行討論是關(guān)鍵．