Question

2．如圖，△ABE中，∠AEB=90°，AE=BE，BC平分∠ABE交AE于C，AD⊥BC于D，連DE．
（1）求證：BC=2AD；
（2）求證：AB=AE+CE；
（3）求證：∠EDB=45°．

Answer 1

分析 （1）延長AD、BE交于F點，由ASA證明△ABD≌△FBD，得出AD=FD=$\frac{1}{2}$AF，證出∠FAE=∠CBE，由AAS證明△AFE≌△BCE，得出AF=BC，即可得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出FE=CE，由FB=FE+BE，BE=AE，即可得出AB=AE+CE；
（3）證出A、B、E、D四點共圓，由圓周角定理即可得出∠EDB=∠BAE=45°，

解答 （1）證明：延長AD、BE交于F點，如圖所示：
∵BD⊥AD且BD平分∠ABC，
∴∠ADB=∠FDB=90°，∠ABD=∠FBD，
在△ABD和△FBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠FDB}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\\{∠ABD=∠∠FBD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴AD=FD=$\frac{1}{2}$AF，
∵∠FAE+∠F=90°，∠CBE+∠F=90°，
∴∠FAE=∠CBE，
∵在△AFE與△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠CBE}&{\;}\\{∠AEF=∠AEB=90°}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCE（AAS），
∴AF=BC，
∴BC=2AD；
（2）證明：∵AD=FD，BD⊥AD，
∴AB=FB，由（1）得：△AFE≌△BCE，
∴FE=CE，
∵FB=FE+BE，BE=AE，
∴AB=AE+CE；
（3）證明：∵∠ADB=∠AEB=90°，AE=BE，
∴A、B、E、D四點共圓，∠BAE=45°，
∴∠EDB=∠BAE=45°．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、四點共圓、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．