Question

7．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，若將△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，
（1）若PA=1，PB=$\sqrt{3}$，PC=2，則點P與點P′之間的距離為1，∠APB=150°．
（2）若∠CPB=110°，∠APC=α，則當α為140°或65°或110°度時，△P′PB是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由已知△PAC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P′A，旋轉(zhuǎn)角∠P′AP=∠BAC=60°，所以△APP′為等邊三角形，即可求得PP′；再由△APP′為等邊三角形，得∠APP′=60°，在△PP′B中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出∠P′PB=90°，可求∠APB的度數(shù)．
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△P′PA是等邊三角形，得出∠P′PA=∠PP′A=60°，設(shè)∠APC=x時，由△BPP′是等腰三角形，則∠BP′A=x，∠BP′P=x-60°，分三種情況分別討論求得∠BPP′的值，根據(jù)∠BPP′+∠P′PA+∠BPC+∠BPC=360°，列出等式即可求得．

解答 解：（1）由題意可知BP′=PC=2，AP′=AP，
∠PAC=∠P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，
所以∠PAP′=60度．故△APP′為等邊三角形，
所以PP′=AP=AP′=1；
∵PA=1，PB=$\sqrt{3}$，PC=2．
∴PP′²+BP²=BP′²，
∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′=90°
∴∠APB=90°+60°=150°．
（2）∵PA=P′A，∠PAP′=60°，
∴△P′PA是等邊三角形，
∴∠P′PA=∠PP′A=60°，
設(shè)∠APC=x時，由△BPP′是等腰三角形，則∠AP′B=x，
∴∠BP′P=x-60°，
①當P′B=P′P時，則∠P′PB=∠PBP′=$\frac{180°-（x-60°）}{2}$，
∵∠BPP′+∠P′PA+∠APC+∠BPC=360°，
∴$\frac{180°-（x-60°）}{2}$+60°+x+110°=360°，
解得x=140°；
②當P′B=BA時，則∠P′PB=∠PP′B=x-60°
∵∠BPP′+∠P′PA+∠APC+∠BPC=360°，
∴x-60°+60°+x+110°=360°，
解得x=65°；
③當P′P=PB時，則∠P′PB=180°-2（x-60°）=300°-2x
∵∠BPP′+∠P′PA+∠APC+∠BPC=360°，
∴300°-2x+60°+x+110°=360°，
解得x=110°；
所以，當∠APC為140°或65°或110°，△BPP′是等腰三角形．
故答案為：1，150°；140°或65°或110°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理的逆定理，注意：旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．