【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,四邊形 OABC 為菱形,點(diǎn) C 的坐標(biāo)為(4,0),∠AOC = 60°,垂直于 x 軸的直線 l 從 y 軸出發(fā),沿 x 軸正方向以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng),設(shè)直線 l 與 菱形 OABC 的兩邊分別交與點(diǎn) M、N(點(diǎn) M 在點(diǎn) N 的上方).
(1)求 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè) OMN 的面積為 S,直線 l 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒(0 ≤t ≤6 ),試求 S 與 t 的函數(shù)表達(dá) 式;
(3)在題(2)的條件下,t 為何值時(shí),S 的面積最大?最大面積是多少.
【答案】(1)A(2,),B(6,);(2)當(dāng)時(shí),;當(dāng),;當(dāng)時(shí),;(3)秒時(shí),.
【解析】
(1)根菱形性質(zhì)得出OA=AB=BC=CO=4,過(guò)A作AD⊥OC于D,求出AD、OD,即可得出答案;
(2)依題意可分為三種情況:①當(dāng)0≤t≤2時(shí),直線l與OA、OC兩邊相交,②當(dāng)2<t≤4時(shí),直線l與AB、OC兩邊相交,③當(dāng)4<t≤6時(shí),直線l與AB、BC兩邊相交,畫出圖形求出即可;
(3)根據(jù)(2)中各函數(shù)的性質(zhì)和各自的自變量的取值范圍可得出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值.
解:(1)∵四邊形OABC為菱形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),
∴
過(guò)點(diǎn)A作于D.
∵
∴,
∴A(2,),B(6,).
(2)∵,
∴,
直線l從y軸出發(fā),沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)與菱形OABC的兩邊相交有三種情況:
①當(dāng)時(shí),直線l與直線OA,OC兩邊相交,
∴,
則;
②當(dāng)時(shí),直線l與AB、OC兩邊相交,
則;
③當(dāng)時(shí),直線l與AB、BC兩邊相交,
設(shè)直線l與x軸相交于H點(diǎn),
∵,
∴;
綜上所述:,
(3)由(2)知,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
∵的對(duì)稱軸為,
∴函數(shù),當(dāng)時(shí),S隨的增大而減小,
即時(shí),S取得最大值:,
綜上所述,當(dāng)秒時(shí),.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖 1,若 P是口ABCD 邊 CD 上任意一點(diǎn),連結(jié) AP、BP,若△APB 的面積為 60 ,△APD 的面積為 18,則 S△APC= .
(2) 如圖 2,①若點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)到口ABCD 內(nèi)一點(diǎn)時(shí),試說(shuō)明 S△APB +S△DPC =S△BPC +S△APD.
②若此時(shí)△APB 的面積為 60,△APD 的面積為 18,則 S△APC= .
(3)如圖 3①利用(2)中的方法你會(huì)發(fā)現(xiàn),S△APB ,S△DPC ,S△BPC ,S△APD 之間存在怎樣的關(guān)系: .
②若此時(shí)△APB 的面積為 60,△APD 的面積為 18,請(qǐng)利用你的發(fā)現(xiàn),求 S△APC 的面積?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).
(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);
(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,將△ABC繞AC的中點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C′,其中點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑為,則圖中陰影部分的面積為( 。
A.π﹣B.2C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊中,,點(diǎn)在上,且,點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn),連接,將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段,若要使點(diǎn)恰好在上,則的長(zhǎng)為().
A. 4B. 5C. 6D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)O是AC邊上的一點(diǎn),連接BO交AD于點(diǎn)F,OE⊥OB交BC邊于點(diǎn)E.
(1)試說(shuō)明:△ABF∽△COE.
(2)如圖(2),當(dāng)O為AC邊的中點(diǎn),且時(shí),求的值.
(3)當(dāng)O為AC邊的中點(diǎn),時(shí),請(qǐng)直接寫出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為等邊三角形,E為AC上一點(diǎn),連接BE,將△BEC旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C落在BC上的點(diǎn)D處,點(diǎn)B落在BC上方的點(diǎn)F處,點(diǎn)E落在點(diǎn)C處,連接AF.求證:四邊形ABDF為平行四邊形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,3)、B(1,1)、C(5,1).
(1)把平移后,其中點(diǎn)移到點(diǎn),面出平移后得到的;
(2)把繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),畫出旋轉(zhuǎn)后得到的,并求出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)和).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,邊BC在x軸上,點(diǎn)E是對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn),反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)A,E兩點(diǎn),則k的值為( 。
A. 8B. 4C. 6D. 3
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