Question

10．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，過點(diǎn)A作AD⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，且∠ABF=∠C．
（1）求證：BF是⊙O的切線；
（2）若AD=4，cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AD⊥AB，可得DB是⊙O的直徑，進(jìn)而得到根據(jù)圓周角定理，可得∠ABF=∠C=∠D，最后根據(jù)∠D+∠ABD=90°，可得OB⊥BF，即BF是⊙O的切線；
（2）根據(jù)AC=AB，可得∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，進(jìn)而在△ABD中，求得BD=5，根據(jù)勾股定理可得AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3，最后在△ABG中，根據(jù)∠AGB=90°，AD=4，求得BG=AB×cos∠2=$\frac{12}{5}$，即可得到BC的長(zhǎng)．

解答 解：（1）證明：如圖，連接BD
∵AD⊥AB，
∴DB是⊙O的直徑，
∴∠D+∠ABD=90°，
又∵∠D=∠C，∠ABF=∠C，
∴∠ABD+∠ABF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切線；

（2）如圖，連接OA，交BC于點(diǎn)G，
∵AC=AB，
∴弧AC=弧AB
∴∠D=∠2=∠ABF，OA⊥BC，BG=CG，
∴cos∠D=cos∠2=cos∠ABF=$\frac{4}{5}$，
在△ABD中，∠DAB=90°，
∴BD=$\frac{AD}{cos∠D}$=5，
∴AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=3，
在△ABG中，∠AGB=90°，AD=4，
∴BG=AB×cos∠2=$\frac{12}{5}$，
∴BC=2BG=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造直角三角形，解題時(shí)注意：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．