Question

5．（1）如圖1，已知E是矩形ABCD的邊AB上一點，EF⊥DE交BC于點F，證明：△ADE∽△BEF．
這個相似的基本圖形像字母K，可以稱為“K”型相似，但更因為圖形的結構特征是一條線上有3個垂直關系，也常被稱為“一線三垂直”，那普通的3個等角又會怎樣呢？
（2）變式一如圖2，已知等邊三角形ABC，點D、E分別為BC，AC上的點，∠ADE=60°．
①圖中有相似三角形嗎？請說明理由．
②如圖3，若將∠ADE在△ABC的內部（∠ADE兩邊不與BC重合），繞點D逆時針旋轉一定的角度，還有相似三角形嗎？△BDF∽△CED（若有請寫出相似三角形，沒有則填“無”）
（3）變式二如圖4，隱藏變式1圖形中的線段AE，在得到的新圖形中．
①如果∠B=∠C=∠ADE=50°，圖中有相似三角形嗎？請說明理由．
②如圖5，若∠B=∠C=∠ADE=∠a，∠a為任意角，還有相似三角形嗎？△ABD∽△DCE．（若有請寫出相似三角形，沒有則填“無”）
（4）變式三，已知，相鄰兩條平行直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個頂點分別在這三條平行直線上，則cosa的值是$\frac{3\sqrt{10}}{10}$（直接寫出結果）．

Answer 1

分析 （1）利用垂直和同角的余角相等判斷出∠ADE=∠BEF即可得出結論；
（2）①類似于（1）的方法利用等邊三角形的性質和三角形的內角和得出∴∠ADE=∠BEF即可得出結論；②同①的方法即可得出結論；
（3）①②類似于（2）的方法利用三角形的內角和即可得出結論；
（4）先判斷出△ACD≌△BCE，得出AD=CE，CD=BE，進而得出AF=3d，最后利用勾股定理得出AB，即可用三角函數(shù)的意義即可得出結論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
∵EF⊥DE，
∴∠AED+∠BEF=90°，
∴∠ADE=∠BEF，
∵∠A=∠B=90°，
∴△ADE∽△BEF；

（2）①∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
根據三角形的內角和定理得，∠ADB+∠BAD=120°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△CDE；
②∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
根據三角形的內角和定理得，∠FDB+∠BFD=120°，
∵∠FDE=60°，
∴∠FDB+∠EDC=120°，
∴∠BFD=∠CDE，
∵∠B=∠C=60°，
∴△FBD∽△CDE；
故答案為：△FBD∽△CDE；

（3）①∠B=∠C=50°，
根據三角形的內角和定理得，∠ADB+∠BAD=130°，
∵∠ADE=50°，
∴∠ADB+∠EDC=130°，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C=130°，
∴△ABD∽△CDE；
②B=∠C=α，根據三角形的內角和定理得，∠ADB+∠BAD=180°-α，
∵∠ADE=α，
∴∠ADB+∠EDC=180°-α，
∴∠BAD=∠CDE，
∵∠B=∠C=α，
∴△ABD∽△DCE；
故答案為：△ABD∽△DCE；

（4）如圖6，過點A作AD⊥l₁，過點B作BE⊥l₁交l₃于F，
∴∠AFB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB=90°}\\{∠CAD=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=CE，CD=BE，
設平行線間的距離為d，
∴AD=CE=2d，BE=CD=d，
∴DE=CD+CE=3d，
∴四邊形ADEF是矩形，
∴AF=DE=3d，BF=d，
在Rt△ABF中，AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$d，
∴cosα=$\frac{AF}{AB}$=$\frac{3d}{\sqrt{10}d}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

點評 此題是相似三角形綜合題，主要考查了相似三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，三角形的內角和，全等三角形的判定和性質，勾股定理，解本題的關鍵是用類比的思想方法解決問題．