Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分別是線段AC、BC上的點，且四邊形PEFD為矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形時，求AP的長；
（Ⅱ）若AP= ，求CF的長．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，
∴DC=AB=6，
∴AC= =10，
要使△PCD是等腰三角形，
①當(dāng)CPCD時，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，
②當(dāng)PD=PC時，∠PDC=∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PD=PA，
∴PA=PC，
∴AP= AC=5，
③當(dāng)DP=DC時，如圖1，過點D作DQ⊥AC于Q，

則PQ=CQ，
∵S△ADC= ADDC= ACDQ，
∴DQ= = ，
∴CQ= = ，
∴PC=2CQ= ，
∴AP=AC﹣PC=10﹣ = ；
所以，若△PCD是等腰三角形時，AP=4或5或 ；
（Ⅱ）如圖2，連接PF，DE記PF與DE的交點為O，連接OC，

∵四邊形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC=∠PDF=90°，
∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP=∠CDF，
∵∠BCD=90°，OE=OD，
∴OC= ED，
在矩形PEFD中，PF=DE，
∴OC= PF，
∵OP=OF= PF，
∴OC=OP=OF，
∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，
∴2∠OCP+2∠OCF=180°，
∴∠PCF=90°，
∴∠PCD+∠FCD=90°，
在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，
∴∠PAD=∠FCD，
∴△ADP∽△CDF，
∴ ，
∵AP= ，
∴CF= ．
【解析】（Ⅰ）先求出AC，再分三種情況討論計算即可得出結(jié)論；（Ⅱ）先判斷出OC= ED，OC= PF，進而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判斷出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出結(jié)論．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解矩形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等，以及對相似三角形的應(yīng)用的理解，了解測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不到達兩點間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．