Question

【題目】如圖,在直角 ABC中， ACB=90 ， =60 ，AD，CE分別是 BAC和 BCA的平分線，AD，CE相交于點(diǎn)F．

（1）求 EFD的度數(shù)；
（2）判FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°
∵AD ， CE分別是∠BAC和∠BCA的平分線，
∴∠FAC= ∠BAC=15°，∠FCA= ∠ACB=45°.
∴∠AFC=180°∠FAC∠FCA=120°，
∴∠EFD=∠AFC=120° 。
（2）解：結(jié)論：FE=FD.

理由是：如圖，在AC上截取AG＝AE ， 連接FG ，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠EAF=∠GAF.
在△AEF和△AGF中，

∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴FE=FG ， ∠AFE=∠AFG ，
∵∠EFD=120°，
∴∠DFC=60°，∠AFG=∠AFE=60°，
∴∠CFG=60°=∠DFC.
∵EC平分∠BCA ，
∴∠DCF=∠FCG=45°.
在△FGC和△FDC中，

∴△FGC≌△FDC(ASA)，
∴FG=FD ，
∴FE=FD.
【解析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠BAC=30°，根據(jù)角平分線的定義得出∠FAC= ∠BAC=15°，∠FCA= ∠ACB=45°.根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠AFC=180°∠FAC∠FCA=120°，根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠EFD=∠AFC=120°；
（2）結(jié)論：FE=FD.理由是：如圖，在AC上截取AG＝AE ， 連接FG ， 根據(jù)角平分線定義得出∠EAF=∠GAF.然后利用SAS判斷出△AEF≌△AGF，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等得出FE=FG ， ∠AFE=∠AFG ， 根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出∠DFC=60°，∠AFG=∠AFE=60°，進(jìn)而得出∠CFG=60°=∠DFC.根據(jù)角的角平分線的定義得出∠DCF=∠FCG=45°.然后利用ASA判斷出△FGC≌△FDC，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出FG=FD ， 根據(jù)等量代換得出答案。