Question

17．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，⊙O的切線(xiàn)PC交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，OF∥BC交AC于點(diǎn)E，交PC于點(diǎn)F，連接AF．
（1）判斷AF與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（2）若⊙O的半徑為4，AF=2，求PF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直接利用切線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案；
（2）利用切線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合三角形面積求法以及勾股定理得出答案．

解答 解：（1）AF為圓O的切線(xiàn)，
理由為：
連接OC，
∵PC為圓O切線(xiàn)，
∴CP⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OF∥BC，
∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠AOF=∠COF，
∵在△AOF和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OF=OF}\\{∠AOF=∠COF}\\{OA=CO}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF⊥OA，OA為圓O的半徑，
則AF為圓O的切線(xiàn)；

（2）設(shè)PF=x，由（1）知OC⊥PC，OP⊥AF，
∴S_△POF=$\frac{1}{2}$•PF•OC=$\frac{1}{2}$•OP•AF，
且⊙O的半徑為4，AF=2，
∴4x=2OP，
∴OP=2x，則AP=2x-4，
∴在Rt△APF中，
2²+（2x-4）²=x²，
解得：x=2（舍去）或$\frac{10}{3}$，
∴PF=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)以及勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．