Question

【題目】閱讀理（解析）

提出問題：如圖1，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點，△PBC與△ABC和△DBC的面積之間有什么關系？探究發(fā)現(xiàn)：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：

當AP＝AD時(如圖2)：

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD，

∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等

∴S△CDP＝S△CDA，

∴S△PBC＝S四邊形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四邊形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA，

＝S四邊形ABCD﹣(S四邊形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四邊形ABCD﹣S△ABC)＝S△DBC+S△ABC.

(1)當AP＝AD時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式并證明；

(2)當AP＝AD時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：　 　；

(3)一般地，當AP＝AD(n表示正整數)時，探求S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系為：　 　；

(4)當AP＝AD(0≤≤1)時，S△PBC與S△ABC和S△DBC之間的關系式為：　 　．

Answer 1

【答案】(1)S△PBC＝S△DBC+S△ABC，證明見解析；(2)S△PBC＝S△DBC+S△ABC；(3)S△PBC＝S△DBC+S△ABC；(4)S△PBC＝S△DBC+S△ABC．

【解析】

（1）根據題中的方法進行求解即可；（2）由（1）即可得到；（3）方法同（1），進行求解；（4）利用（3）中的結論即可求解.

(1)∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD．

又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA．

∴S△PBC＝S四邊形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP

＝S四邊形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA

＝S四邊形ABCD﹣(S四邊形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四邊形ABCD﹣S△ABC)

＝S△DBC+S△ABC．

∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC

(2)由(1)得，S△PBC＝S△DBC+S△ABC；

(3)S△PBC＝S△DBC+S△ABC；

∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，

∴S△ABP＝S△ABD．

又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，

∴S△CDP＝S△CDA

∴S△PBC＝S四邊形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP

＝S四邊形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA

＝S四邊形ABCD﹣(S四邊形ABCD﹣S△DBC)﹣(S四邊形ABCD﹣S△ABC)

＝S△DBC+S△ABC．

∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC

(4)由(3)得，S△PBC＝S△DBC+S△ABC．