Question

9．先閱讀下列解法，再解答后面的問題．
已知$\frac{3x-4}{{x}^{2}-3x+2}$=$\frac{A}{x-1}$+$\frac{B}{x-2}$，求A、B的值．
解法一：將等號(hào)右邊通分，再去分母，得：3x-4=A（x-2）+B（x-1），
即：3x-4=（A+B）x-（2A+B），
∴$\left\{\begin{array}{l}A+B=3\\-（2A+B）=-4\end{array}\right.$．
解得      $\left\{\begin{array}{l}A=1\\ B=2\end{array}\right.$．
解法二：在已知等式中取x=0，有-A+$\frac{B}{-2}$=-2，整理得
2A+B=4；
取x=3，有$\frac{A}{2}$+B=$\frac{5}{2}$，整理得
A+2B=5．
解    $\left\{\begin{array}{l}2A+B=4\\ A+2B=5\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}A=1\\ B=2\end{array}\right.$．
（1）已知$\frac{11x}{{-3{x^2}-14x+24}}=\frac{A}{x+6}+\frac{B}{4-3x}$，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）計(jì)算：
[$\frac{1}{{（x-1）（{x+1}）}}+\frac{1}{（x+1）（x+3）}+\frac{1}{（x+3）（x+5）}+…+\frac{1}{（x+9）（x+11）}$]（x+11），并求x取何整數(shù)時(shí)，這個(gè)式子的值為正整數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方法一可得11x=A（4-3x）+B（x+6），即11x=（-3A+B）x+（4A+6B），得出$\left\{\begin{array}{l}{-3A+B=11}\\{4A+6B=0}\end{array}\right.$，解之可得答案；
（2）裂項(xiàng)求解可得原式=$\frac{6}{x-1}$，由式子的值為正整數(shù)知x-1=1、2、3、6，從而得出答案．

解答 解：（1）等號(hào)右邊通分、再去分母，得：11x=A（4-3x）+B（x+6），
即11x=（-3A+B）x+（4A+6B），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3A+B=11}\\{4A+6B=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{A=-3}\\{B=2}\end{array}\right.$；

（2）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{x+3}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{1}{x+5}$+…+$\frac{1}{x+9}$-$\frac{1}{x+11}$）×（x+11）
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+11}$）×（x+11）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{（x-1）（x+11）}$×（x+11）
=$\frac{6}{x-1}$，
∵式子的值為正整數(shù)，
∴x-1=1、2、3、6，
則x=2、3、4、7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運(yùn)算順序和法則及裂項(xiàng)求解的方法是解題的關(guān)鍵．