【題目】已知:菱形ABCD,AB=4m,∠B=60°,點P、Q分別從點B、C同時出發(fā),沿線段BC、CD以1m/s的速度向終點C、D運動,運動時間為t秒.
(1)如圖1,連接AP、AQ、PQ,試判斷△APQ的形狀,并說明理由
(2)如圖2,當(dāng)t=1.5秒時,連接AC,與PQ相交于點K.求AK的長.
(3)如圖3,連接AC交BD于點O,當(dāng)P、Q分別運動到點C、D時,將∠APQ沿射線CA方向平移,使點P與點O重合,然后以點O為旋轉(zhuǎn)中心將∠APQ旋轉(zhuǎn)一定的角度,使角的兩邊分別于CD、AD交于S、K點,再以OS為一邊在∠SOC內(nèi)作∠SOT,使∠SOT=∠BDC,OT邊交BC的延長線于點T,若BT=4.8,求AK的長.
【答案】(1)等邊三角形,見解析;(2);(3)
【解析】
(1)如圖1,連接AC,根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABC和△ACD是等邊三角形,得∠B=∠ACQ,AB=AC,由BP=CQ,證明△ABP≌△ACQ,得AP=AQ及∠PAQ=60°,所以△APQ為等邊三角形;
(2)由(1)△APQ是等邊三角形,由∠4=∠ 6,∠B=∠ACB,得△ABP∽△ PCK,則,代入數(shù)值進行計算,即可得到答案;
(3)由題意先證明△DOS∽△BTO,利用相似三角形的性質(zhì),求出DS的長度,然后△AOK∽△ CSO,即可求出AK的長度.
解:(1)△APQ是等邊三角形
證明:連接AC
∵菱形ABCD
∴AB=BC
∵∠B=60°
∴△ABC是等邊三角形
∴AB=AC,①
∵P、Q分別從點B、C同時出發(fā),且速度相同
∴BP=CQ,②
∵菱形ABCD
∴120°=60°
∴∠ACQ=∠B③
由①②③得△ABP≌△ACQ
∴AP=AQ ,∠1=∠3,
∵∠1+∠2=∠BAC=120°=60°
∴∠1+∠3=60°=∠PAQ
∴△APQ是等邊三角形
(2)由(1)得△APQ是等邊三角形
∴∠APQ=60°
∴∠4+∠5=120°
∵∠ACB=60°
∴∠5+∠6=120°
∴∠4=∠ 6,
∵∠B=∠ACB=60°,
∴△ABP∽△ PCK,
∴,
∵當(dāng)t=1.5秒時,BP=1.5,
∴CP=41.5=2.5,
∴
∴,
∴;
(3) ∵菱形ABCD
∴∠BDC=∠DBC=
∵∠SOT=∠BDC
可證△DOS∽△BTO
∴
∵BC=4 ,∠BDC=∠DBC=30°
∴CO=AO=2 ,BO=DO=
∴
∴DS=2.5
∴CS=42.5=1.5
∵∠DAC=∠KOS=∠ACD
可證∴△AOK∽△ CSO
∴
∴
∴.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某通訊經(jīng)營店銷售,兩種品牌兒童手機,今年進貨和銷售價格如下表:
型手機 | 型手機 | |
進貨價格(元/只) | 1000 | 1100 |
銷售價格(元/只) | 1500 |
已知型手機去年4月份銷售總額為3.6萬元,今年經(jīng)過改造升級后每部銷售價比去年增加400元.今年4月份型手機的銷售數(shù)量與去年4月份相同,而銷售總額為5.4萬元.
(1)求今年4月份型手機的銷售價是多少元?
(2)該店計劃6月份再進一批型和型手機共50部且型手機數(shù)量不超過型手機數(shù)量的2倍,應(yīng)如何進貨才能使這批兒童手機獲利最多?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠BAC=∠BDC,
(1)求證:△ADE∽△CEB;
(2)已知△ABC是等邊三角形,求證:
① ;
② .
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【題目】在扇形中,,半徑,點P為上任一點(不與A、O重合).
(1)如圖①,Q是上一點,若,求證:.
(2)如圖②,將扇形沿折疊,得到O的對稱點.
①若點落在上,求的長;
②當(dāng)與扇形所在的圓相切時,求折痕的長.(注:本題結(jié)果不取近似值)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某游樂場部分平面圖如圖所示,C,E,A在同一直線上,D,E,B在同一直線上,測得A處與E處的距離為80 m,C處與D處的距離為34 m,∠C=90°,∠ABE=90°,∠BAE=30°.( ≈1.4, ≈1.7)
(1)求旋轉(zhuǎn)木馬E處到出口B處的距離;
(2)求海洋球D處到出口B處的距離(結(jié)果保留整數(shù)).
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【題目】王芳同學(xué)到文具店購買中性筆和筆記本,中性筆每支1元,筆記本每本3元,王芳同學(xué)現(xiàn)有10元錢,則可供她選擇的購買方案的個數(shù)為(兩樣都買,余下的錢少于1元)( )
A.2B.3C.4D.5
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【題目】問題探究:
如圖1,△ACB和△DCE均為等邊三角形,點A、D、E在同一直線上,連接BE.
(1)證明:AD=BE;
(2)求∠AEB的度數(shù).
問題變式:
(3)如圖2,△ACB和△DCE均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點A、D、E在同一直線上,CM為△DCE中DE邊上的高,連接BE.(Ⅰ)請求出∠AEB的度數(shù);(Ⅱ)判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點,拋物線分別交軸正半軸于點,交軸負(fù)半軸于點,與軸負(fù)半軸交于點,且.
(1)如圖1,求的值;
(2)如圖,是第一象限拋物線上的點,連,過點作軸,交的延長線于點,連接交于點,若,求點的坐標(biāo)以及的值;
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接,是第一象限拋物線上的點(點與點不重合),過點作的垂線,交軸于點,點在軸上(點在點的左側(cè)),,點在直線上,連接、.若,,求點的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某超市銷售A,B兩款保溫杯,已知B款保溫杯的銷售單價比A款保溫杯多10元,用480元購買B款保溫杯的數(shù)量與用360元購買A款保溫杯的數(shù)量相同.
(1)A,B兩款保溫杯的銷售單價各是多少元?
(2)由于需求量大,A,B兩款保溫杯很快售完,該超市計劃再次購進這兩款保溫杯共120個,且A款保溫杯的數(shù)量不少于B保溫杯的2倍,A保溫杯的售價不變,B款保溫杯的銷售單價降低10%,兩款保溫杯的進價每個均為20元,應(yīng)如何進貨才能使這批保溫杯的銷售利潤最大,最大利潤是多少元?
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