28．(江安中學(xué))已知兩點(diǎn)F₁(-3，0)、F₂(3，0)，且點(diǎn)P使，又向量是單位向量。①求點(diǎn)的軌跡；

②若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求數(shù)量積的取值范圍。

正解：求出，依題，是的兩根，判斷出，及時(shí)所取的極值是極大值還是極小值，再由，求出及極大值和極小值。

時(shí)有極值 　　代入得

僅當(dāng)時(shí)有極值，對任意成立

，考察，隨的變化表。

27．(江安中學(xué))在中，，D是線段AB的垂直平分線上的一點(diǎn)，D到AB的距離為2，過C的曲線E上任一點(diǎn)P滿足為常數(shù)。

4)　　　　 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求出曲線E的方程。

5)　　　　 過點(diǎn)D的直線與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M，N，且M點(diǎn)在D，N之間，若，求的取值范圍。

正解：①以所在直線分別為X軸，Y軸建立直角坐標(biāo)系

＝=,動點(diǎn)的軌跡方程為以為焦點(diǎn)的橢圓

②與軸重合，

　　 與軸不重合，令直線的方程為：與曲線的方程聯(lián)立得，

，∴，

∴，∴，∵,∴,綜上≤

誤解：由的范圍求的范圍時(shí)注意方法，方法不對，可能就會導(dǎo)致錯誤結(jié)果。

26．(江安中學(xué))如圖，已知一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像相交于兩點(diǎn)，其中，且，點(diǎn)F(0，b)，

1)　　　　 求的值

2)　　　　 求t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式

3)　　　　 當(dāng)時(shí)，求以原點(diǎn)為中心，F(xiàn)為一個焦點(diǎn)，且過點(diǎn)B的橢圓方程

正解：①由

=＝＝

②,

而是方程的根，

③

，得

為焦點(diǎn)，故半焦距為。

設(shè)橢圓方程為，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，解得(舍去)

所求橢圓方程為

誤解：①中公式要記清：

②中計(jì)算導(dǎo)致錯誤

25．(蒲中)過點(diǎn)A(1，1)作直線l與雙曲線=1交于P₁、P₂兩個不同點(diǎn)，若A為P₁P₂中點(diǎn)，求直線l的方程。

解：設(shè)P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，則2x₁²－y₁²=2，2x₂²－y₂²=2

兩式相減得2(x₁+x₂)(x₁－x₂)－(y₁+y₂)(y₁－y₂)=0，

當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，

　 ∴直線l的方程 2x－y－1=0　 將y=2x－1代入得

　 2x²－4x+3=0　 方程無解　 ∴直線不存在

　 當(dāng)x₁=x₂時(shí)，直線方程為x=1，與雙曲線僅有一個公共點(diǎn)。綜上所述，直線l不存在。

點(diǎn)評：本題易錯點(diǎn)一是用“差分法”求出斜率后就給出結(jié)論而不去驗(yàn)證導(dǎo)致錯誤；二是忽視x₁=x₂時(shí)情況的討論。

24．(薛中)已知定點(diǎn)A(3，0)，B(0，3)如果線段AB與拋物線有且僅有一個公共點(diǎn)，試求m的取值范圍。

　　 答案：設(shè)線段AB上任意一點(diǎn)，可看作線段AB的定比分點(diǎn)，所以　 　，由線段AB與拋物線C有且僅有一個公共點(diǎn)，所以方程有且僅有一個正根，所以 1或　 2

解1得m=3, 解2得m>，綜上所述m>或m=3。

錯解：直線AB的方程為y=-x+3，因?yàn)锳B與拋物線C有且僅有一個公共點(diǎn)，所以方程的判別

。

　　 錯因：審題不嚴(yán)，顯現(xiàn)條件弱用，把求線段AB與拋物線C的交點(diǎn)變成了求直線AB與拋物線C的交點(diǎn)。

23．(薛中)直線與雙曲線相交于點(diǎn)A，B，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得A，B關(guān)于直線對稱？如果存在，求出實(shí)數(shù)a，如果不存在，請說明理由。

　　 答案：設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得A，B關(guān)于y=2x對稱，又設(shè)，，則而由　 作差整理可得：

由，故不存在這樣的實(shí)數(shù)a。

　　 　錯解：

　　 錯因：沒有挖掘隱含條件，而軸對稱的第二個條件直線AB與直線垂直，造成解題錯誤。

22．(薛中)設(shè)橢圓方程為，試求滿足下列條件的圓方程：1圓心在橢圓的長軸上；2與橢圓的短軸相切；3與橢圓在某點(diǎn)處也相切。

　　 答案：根據(jù)題意設(shè)圓方程為1，化橢圓方程為2，由12消去y，得：，由圓與橢圓相切：即所求圓的方程為：，另由圖可知也合題意。

　　 錯解：

　　 錯因：漏解

21．(丁中)求經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線僅有一個公共點(diǎn)的直線方程。

錯解：無，。

錯因：把相切作為直線與雙曲線有且僅有一個公共點(diǎn)的充要條件。

正 解：當(dāng)存在時(shí)，設(shè)所求直線方程為，代入雙曲線，

　　　　 得

(1)　　　 當(dāng)時(shí)，直線方程為與雙曲線只有一個公共點(diǎn)。

(2)　　　 當(dāng)時(shí)，直線方程為與雙曲線只有一個公共點(diǎn)。

(3)　　　 當(dāng)直線和雙曲線相切時(shí)，僅有一個公共點(diǎn)，此時(shí)有

得，可得直線方程為

　　　　 當(dāng)不存在時(shí)，直線也滿足題意。

故經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線僅有一個公共點(diǎn)的直線方程有四條，它們分別為：，，，。

20．(丁中)已知雙曲線，過點(diǎn)B(1，1)能否作直線，使直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且B是線段的中點(diǎn)？樣的直線若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由。

錯解：直線為。

錯因：忽視了直線與雙曲線交于兩點(diǎn)的隱含條件。

正解：假設(shè)存在直線，設(shè)，則有

得

顯然

由中點(diǎn)公式得，，

由斜率公式得斜率

又使直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，由得，此方程必有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。而此時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，即直線與雙曲線無交點(diǎn)，因此直線不存在。

19．(丁中)直線y=kx+1與雙曲線3x²－y²=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B：

(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)若以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求該圓的直徑.

錯解：

錯因：由可得，忽視，僅考慮

正解：k的取值范圍是