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,這里我們稱這一函數(shù)關(guān)系為“學(xué)習(xí)曲線”.已知這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)有如下兩組數(shù)據(jù):.
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(1)試確定該項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)的“學(xué)習(xí)曲線”的關(guān)系式;
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(2)若定義在區(qū)間上的平均學(xué)習(xí)效率為,問這項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)從哪一刻開始的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)平均學(xué)習(xí)效率最高.
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18.(本小題滿分14分)已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn),并滿足,過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn). (1)求P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證直線AB的斜率為定值; (3)求△PAB面積的最大值。
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(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
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(3)若等腰三角形中,是否有正三角形,若有,求出實(shí)數(shù)
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20、已知函數(shù)f(x)=2x+alnx.
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(1) 若f(x)在[1,+)上為增函數(shù),求a的范圍
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(2) 若a<0,對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)x1、x2總有:
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(3) 若存在x[1,e],使不等式f(x)(a+3)x―x2成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍 B.附加題部分
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21.(選做題)從A,B,C,D四個(gè)中選做2個(gè),每題10分,共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. A.選修4-1(幾何證明選講)
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如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為的正方體,以D為圓心,DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)CP交AB于M.求證:(1)M是AB的中點(diǎn);(2)求線段BP的長(zhǎng)。
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D.選修4-5(不等式選講)已知為正數(shù),且滿足,
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求證:.
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22.(必做題)甲從裝有編號(hào)為1,2,3,4,5的卡片的箱子中任意取一張,乙從裝有編號(hào)為2,4的卡片的箱子中任意取一張,用,分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字.
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(2)記,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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(1)證明:數(shù)列中的任意一項(xiàng)都小于1;
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(2)探究與的大小,并證明你的結(jié)論。 泰興市第四高級(jí)中學(xué)高三第二學(xué)期第三次月考
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1.; 2. 2. 3.200 4. 3 5. 6. 7. 8.6 9.; 10. 11.1005 12.4 13. 1 14. 15.解: (1).如圖,, 即. (2).在中,由正弦定理得
由(1)得, 即. 16.解:(Ⅰ) 在△PAC中,∵PA=3,AC=4,PC=5, ∴,∴;又AB=4,PB=5,∴在△PAB中,
同理可得 ∵,∴ ∵平面ABC,∴PA⊥BC. (Ⅱ)
如圖所示取PC的中點(diǎn)G, 連結(jié)AG,BG,∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點(diǎn)
又D、E分別為BC、AC的中點(diǎn), ∴AG∥EF,BG∥FD,又AG∩GB=G,EF∩FD=F……………7分 ∴面ABG∥面DEF
即PC上的中點(diǎn)G為所求的點(diǎn)
…………… 9分 (Ⅲ) 17.解:(1)由題意得, 整理得,解得, 所以“學(xué)習(xí)曲線”的關(guān)系式為. (2)設(shè)從第個(gè)單位時(shí)間起的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的平均學(xué)習(xí)效率為,則 令,則, 顯然當(dāng),即時(shí),最大, 將代入,得, 所以,在從第3個(gè)單位時(shí)間起的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的平均學(xué)習(xí)效率最高. 18. 解:(1)由題可得,,設(shè) 則,,……………………2分 ∴,∵點(diǎn)在曲線上,則,∴,從而,得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. ……………………5分 (2)由題意知,兩直線PA、PB的斜率必存在,設(shè)PB的斜率為,………6分 則BP的直線方程為:.由得 ,設(shè),則, 同理可得,則,. ………………9分 所以:AB的斜率為定值. ………………10分 (3)設(shè)AB的直線方程:. 由,得, 由,得 P到AB的距離為,………………12分 則 。 當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào) ∴三角形PAB面積的最大值為!14分 19.解:
(1)依題意有,于是. 所以數(shù)列是等差數(shù)列.
.4分 (2)由題意得,即 , ()
① 所以又有.
② 由②①得:, 所以是常數(shù). 由都是等差數(shù)列. ,那么得 , . ( 故
10分 (3) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,所以 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以 作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須:.
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有,即 ① , 當(dāng)時(shí),. 不合題意. 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有 ,,同理可求得 . ;;當(dāng)時(shí),不合題意. 綜上所述,使等腰三角形中,有正三角形,的值為 ;; ;16分 20⑴當(dāng)x≥1時(shí),只需2+a≥0即a≥-2 ⑵作差變形可得: = (*) x1>0,x2>o 從而 ∴l(xiāng)n,又a<0 ∴(*)式≥0 即(當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào)) (3)可化為: x ∴l(xiāng)nx≤1≤x,因等號(hào)不能同時(shí)取到,∴l(xiāng)nx<x,lnx―x<0 ∴a≥ 令, x , = x,∴l(xiāng)nx―1―<0,且1―x≤0 從而,,所以g(x)在x上遞增,從而=g(1)= ― 由題設(shè)a≥― 即存在x,不等式f(x)≤(a+3)―能成立且a 21.A解(1)利用△CDO≌△BCM,可證MB=OC=AB (2)由△PMB∽△BMC,得,∴BP= B、設(shè)M=,則=8=,故 =,故 聯(lián)立以上兩方程組解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=. C.求直線()被曲線所截的弦長(zhǎng),將方程,分別化為普通方程: ,………(5分) D.解:由柯西不等式可得
22、解析:(1)記“”為事件A, ()的取值共有10種情況,…………1分 滿足的()的取值有以下4種情況: (3,2),(4,2),(5,2),(5,4), 所以; (2)隨機(jī)變量的取值為2,3,4,5,的分布列是
2 3 4 5 P
…………10分 所以的期望為 23、解:(1)由得 ∵在數(shù)列中,∴,∴ 故數(shù)列中的任意一項(xiàng)都小于1 (2)由(1)知,那么, 由此猜想:(n≥2).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n=2時(shí),顯然成立; ②當(dāng)n=k時(shí)(k≥2,k∈N)時(shí),假設(shè)猜想正確,即, 那么, ∴當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也正確 綜上所述,對(duì)于一切,都有。
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