江蘇省泰興市第四高級(jí)中學(xué)高三第二學(xué)期第三次月考

    數(shù)學(xué)試卷  2009.03.05

A.必做題部分

一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共70分.

1.已知全集,集合,

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那么集合__________。

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2..雙曲線的一條準(zhǔn)線恰好與圓x2+y2+2x=0相切,則雙曲線的離心率為_________

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3.某中學(xué)有高一學(xué)生400人,高二學(xué)生300人,高三學(xué)生300人,現(xiàn)通過分層抽樣抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本,已知每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為0.2,則n=___________.

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4. 按如右圖所示的流程圖運(yùn)算,若輸入,則輸出 _________

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5.已知變量滿足約束條件的取值范圍是____________

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6.已知的頂點(diǎn)A為(3,-1),AB邊上的中線所在直線方程為,的平分線所在直線方程為,則BC邊所在直線的方程為:___________________.       

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7.若向量,且,則等于_______

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8.方程的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是                      

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9.已知集合,(可以等于),從集合中任取一元素,則該元素的模為的概率為______________。

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學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)10.如圖,在△ABC中,己知AB=2,BC=3,于H,M為AH的中點(diǎn),若          .

 

 

 

 

 

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11.如圖,坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長(zhǎng)為1,由下往上的六個(gè)點(diǎn):1,2,3,4,5,6的橫縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列的前12項(xiàng),如下表所示:

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學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)學(xué)科網(wǎng)

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學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)按如此規(guī)律下去,則__________

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12.已知二次函數(shù)的值域?yàn)?sub>,則的最小值為__________

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13.對(duì)于函數(shù)),若存在閉區(qū)間

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,使得對(duì)任意,恒有=為實(shí)常數(shù)),則實(shí)數(shù)的值為        

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14.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)之和.若不等式對(duì)任何等差數(shù)列及任何正整數(shù)恒成立,則的最大值為 :__________                                  學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)學(xué)科網(wǎng)

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二、解答題:本大題共6小題,共90分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖,D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn),AB=AD,記∠CAD=,∠ABC=.

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(Ⅰ).證明 ;

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(Ⅱ).若AC=DC,求的值.

 

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16.如圖,在三棱錐P-ABC中, PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,D、E分別是BC、AC的中點(diǎn),F(xiàn)為PC上的一點(diǎn),且PF:FC=3:1.

(Ⅰ)求證:PA⊥BC;

(Ⅱ)試在PC上確定一點(diǎn)G,使平面ABG∥平面DEF;

(Ⅲ)求三棱錐P-ABC的體積.

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        17.已知某類學(xué)習(xí)任務(wù)的掌握程度與學(xué)習(xí)時(shí)間(單位時(shí)間)之間的關(guān)系為

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        ,這里我們稱這一函數(shù)關(guān)系為“學(xué)習(xí)曲線”.已知這類學(xué)習(xí)任務(wù)中的某項(xiàng)任務(wù)有如下兩組數(shù)據(jù):

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        (1)試確定該項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)的“學(xué)習(xí)曲線”的關(guān)系式;

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        (2)若定義在區(qū)間上的平均學(xué)習(xí)效率為,問這項(xiàng)學(xué)習(xí)任務(wù)從哪一刻開始的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)平均學(xué)習(xí)效率最高.

         

         

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        18.(本小題滿分14分)已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn),并滿足,過P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn).   (1)求P點(diǎn)坐標(biāo);                               

        (2)求證直線AB的斜率為定值;   

        (3)求△PAB面積的最大值。

         

         

         

         

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        19.已知點(diǎn)列順次為直線上的點(diǎn),點(diǎn)列順次為軸上的點(diǎn),其中,對(duì)任意的,點(diǎn)、、構(gòu)成以為頂點(diǎn)的等腰三角形。

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        (1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;

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        (2)求證:對(duì)任意的是常數(shù),并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

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        (3)若等腰三角形中,是否有正三角形,若有,求出實(shí)數(shù)

         

         

         

         

         

         

         

         

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        20、已知函數(shù)f(x)=2x+alnx.

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        (1)  若f(x)在[1,+)上為增函數(shù),求a的范圍

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        (2)  若a<0,對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)x1、x2總有:

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        (3)  若存在x[1,e],使不等式f(x)(a+3)x―x2成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

         

         

         

        B.附加題部分

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        21.(選做題)從A,B,C,D四個(gè)中選做2個(gè),每題10分,共20分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

        A.選修4-1(幾何證明選講)

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        如圖,ABCD是邊長(zhǎng)為的正方體,以D為圓心,DA為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O交于點(diǎn)P,延長(zhǎng)CP交AB于M.求證:(1)M是AB的中點(diǎn);(2)求線段BP的長(zhǎng)。

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        B.選修4-2(矩陣與變換)已知二階矩陣M有特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量,并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成, 求矩陣M.

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        C.選修4-4(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)求直線)被曲線所截的弦長(zhǎng).

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        D.選修4-5(不等式選講)已知為正數(shù),且滿足

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        求證:

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        22.(必做題)甲從裝有編號(hào)為1,2,3,4,5的卡片的箱子中任意取一張,乙從裝有編號(hào)為2,4的卡片的箱子中任意取一張,用分別表示甲、乙取得的卡片上的數(shù)字.

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        (1)求概率);

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        (2)記,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

         

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        23.(必做題)已知正項(xiàng)數(shù)列中,對(duì)于一切的均有成立。

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        (1)證明:數(shù)列中的任意一項(xiàng)都小于1;

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        (2)探究的大小,并證明你的結(jié)論。

         

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        1.;   2.   2.   3.200   4. 3      5.  6.     7.

        8.6  9.;  10.    11.1005    12.4    13.  1    14.

        15.解: (1).如圖,,

              即

           (2).在中,由正弦定理得

            由(1)得,

            即

            

        16.解:(Ⅰ) 在△PAC中,∵PA=3,AC=4,PC=5,

                ∴,∴;又AB=4,PB=5,∴在△PAB中,

               同理可得

               ∵,∴

              ∵平面ABC,∴PA⊥BC. 

        (Ⅱ)  如圖所示取PC的中點(diǎn)G,

        連結(jié)AG,BG,∵PF:FC=3:1,∴F為GC的中點(diǎn)

              又D、E分別為BC、AC的中點(diǎn),

        ∴AG∥EF,BG∥FD,又AG∩GB=G,EF∩FD=F……………7分 

              ∴面ABG∥面DEF           

        即PC上的中點(diǎn)G為所求的點(diǎn)                  …………… 9分

        (Ⅲ)

        17.解:(1)由題意得,  

        整理得,解得, 

        所以“學(xué)習(xí)曲線”的關(guān)系式為. 

        (2)設(shè)從第個(gè)單位時(shí)間起的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的平均學(xué)習(xí)效率為,則

         

        ,則,  

        顯然當(dāng),即時(shí),最大, 

        代入,得,

        所以,在從第3個(gè)單位時(shí)間起的2個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的平均學(xué)習(xí)效率最高.

        18. 解:(1)由題可得,,設(shè)

        ,,……………………2分

        ,∵點(diǎn)在曲線上,則,∴,從而,得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. ……………………5分

        (2)由題意知,兩直線PA、PB的斜率必存在,設(shè)PB的斜率為,………6分

        則BP的直線方程為:.由 ,設(shè),則,

        同理可得,則. ………………9分

        所以:AB的斜率為定值. ………………10分

        (3)設(shè)AB的直線方程:.

        ,得,

        ,得

        P到AB的距離為,………………12分

        。

        當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)

        ∴三角形PAB面積的最大值為!14分

         

        19.解: (1)依題意有,于是.

        所以數(shù)列是等差數(shù)列.                              .4分

        (2)由題意得,即 , ()         ①

        所以又有.                        ②   

        由②①得:, 所以是常數(shù).       

        都是等差數(shù)列.

        ,那么得    ,

        .    (   

                                      10分

        (3) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,所以

        當(dāng)為偶數(shù)時(shí),所以       

        軸,垂足為,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須:.                             

        當(dāng)為奇數(shù)時(shí),有,即        ①

        , 當(dāng)時(shí),. 不合題意.                    

        當(dāng)為偶數(shù)時(shí),有 ,,同理可求得  .

        ;;當(dāng)時(shí),不合題意.

        綜上所述,使等腰三角形中,有正三角形,的值為

        ;; ;16分

        20⑴當(dāng)x≥1時(shí),只需2+a≥0即a≥-2

        ⑵作差變形可得:

        =  (*)

        x1>0,x2>o  從而

        ∴l(xiāng)n,又a<0   ∴(*)式≥0

        (當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)取“=”號(hào))

         (3)可化為:

         x ∴l(xiāng)nx≤1≤x,因等號(hào)不能同時(shí)取到,∴l(xiāng)nx<x,lnx―x<0

        ∴a≥

        , x ,

        =

         x,∴l(xiāng)nx―1―<0,且1―x≤0

        從而,,所以g(x)在x上遞增,從而=g(1)= ―

        由題設(shè)a≥―

        存在x,不等式f(x)≤(a+3)―能成立且a

        21.A解(1)利用△CDO≌△BCM,可證MB=OC=AB

        (2)由△PMB∽△BMC,得,∴BP=

        B、設(shè)M=,則=8=,故

               =,故

        聯(lián)立以上兩方程組解得a=6,b=2,c=4,d=4,故M=

        C.求直線)被曲線所截的弦長(zhǎng),將方程,分別化為普通方程:

        ………(5分)

         D.解:由柯西不等式可得

         

        22、解析:(1)記“”為事件A, ()的取值共有10種情況,…………1分

        滿足的()的取值有以下4種情況:

        (3,2),(4,2),(5,2),(5,4),

        所以;

        (2)隨機(jī)變量的取值為2,3,4,5,的分布列是

        2

        3

        4

        5

        P

                       …………10分

        所以的期望為

        23、解:(1)由

        ∵在數(shù)列,∴,∴

        故數(shù)列中的任意一項(xiàng)都小于1

        (2)由(1)知,那么,

        由此猜想:(n≥2).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

        ①當(dāng)n=2時(shí),顯然成立;

        ②當(dāng)n=k時(shí)(k≥2,k∈N)時(shí),假設(shè)猜想正確,即,

        那么,

        ∴當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也正確

        綜上所述,對(duì)于一切,都有。

         

         

         


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