上海普陀區(qū)

2008學(xué)年度高三第一學(xué)期質(zhì)量調(diào)研測(cè)試

數(shù)學(xué)試題（文科）

 

說(shuō)明：本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。本套試卷另附答題紙，每道題的解答必須寫在答題紙的相應(yīng)位置，本卷上任何解答都不作評(píng)分依據(jù)。

一、填空題（本大題滿分55分）本大題共有11小題，要求直接將結(jié)果填寫在答題紙對(duì)應(yīng)的空格中．每個(gè)空格填對(duì)得5分，填錯(cuò)或不填在正確的位置一律得零分．

1．已知集合，集合,則            ．

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2．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為              ．

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3．已知函數(shù)，則          ．

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4．設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，若，則

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         ．

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5．已知兩直線方程分別為、，若，則直線的一

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個(gè)法向量為               ．

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6．已知，則           ．

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7．在的二面角內(nèi)放一個(gè)半徑為的球，使球與兩個(gè)半平面各

只有一個(gè)公共點(diǎn)（其過(guò)球心且垂直于二面角的棱的直截面如

圖所示），則這兩個(gè)公共點(diǎn)AB之間的球面距離為             ．

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8．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，且，則

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正整數(shù)         ．

 

 

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9．一個(gè)圓柱形容器的軸截面尺寸如右圖所示，容器內(nèi)有

一個(gè)實(shí)心的球，球的直徑恰等于圓柱的高．現(xiàn)用水

將該容器注滿，然后取出該球（假設(shè)球的密度大于

水且操作過(guò)程中水量損失不計(jì)），則球取出后，容

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器中水面的高度為            cm．（精確到0.1cm）

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10．已知函數(shù)，若，

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則實(shí)數(shù)的取值范圍是               ．

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11．下列有關(guān)平面向量分解定理的四個(gè)命題中，所有正確命題的序號(hào)是               ．（填寫命題所對(duì)應(yīng)的序號(hào)即可）

①一個(gè)平面內(nèi)有且只有一對(duì)不平行的向量可作為表示該平面所有向量的基；

②一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多對(duì)不平行向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基； 

③平面向量的基向量可能互相垂直；

④一個(gè)平面內(nèi)任一非零向量都可唯一地表示成該平面內(nèi)三個(gè)互不平行向量的線性組合．

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二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫在答題紙相應(yīng)的空格中．每題選對(duì)得4分，不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè)，或者沒(méi)有填寫在題號(hào)對(duì)應(yīng)的空格內(nèi)，一律得零分．

12．若角和角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則下列等式恒成立的是              （    ）

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A．；   B．；  C．；  D．．

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13．若平面向量和互相平行，其中．則（    ）   

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A． 或0；       B．；         C． 2或；       D．或．

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14．設(shè)、為兩條直線，、為兩個(gè)平面．下列四個(gè)命題中，正確的命題是 （　�。�

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A．若、與所成的角相等，則； 

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B．若；

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C．若; 

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       D．若，，則.

 

 

 

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15．已知不等式成立的一個(gè)充分非必要條件是，則

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實(shí)數(shù)的取值范圍是                                                   (     )

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A．；       B．；     C．；    D．．

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三、解答題（本大題滿分79分）本大題共有6題，解答下列各題必須在答題紙規(guī)定的方框內(nèi)寫出必要的步驟．

16．（本題滿分12分）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)．試求的模的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17．（本題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）

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已知關(guān)于的不等式，其中．

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   （1）當(dāng)變化時(shí)，試求不等式的解集；

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   （2）對(duì)于不等式的解集，若滿足（其中為整數(shù)集）．試探究集合能否為有限集？若能，求出使得集合中元素個(gè)數(shù)最少的的所有取值，并用列舉法表示集合；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

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如圖，在直三棱柱中，，．

   （1） 下圖給出了該直三棱柱三視圖中的主視圖，請(qǐng)據(jù)此畫出它的左視圖和俯視圖；

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   （2） 若是的中點(diǎn)，求四棱錐的體積．

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19．（本題滿分16分，第1小題10分，第2小題6分）在某個(gè)旅游業(yè)為主的地區(qū)，每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化． 現(xiàn)假設(shè)該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)來(lái)刻畫．其中：正整數(shù)表示月份且，例如時(shí)表示1月份；和是正整數(shù)；．

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：

① 各年相同的月份，該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；

② 該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約400人；

③ 2月份該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多．

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   （1）試根據(jù)已知信息，確定一個(gè)符合條件的的表達(dá)式；

   （2） 一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過(guò)400人時(shí)，該地區(qū)也進(jìn)入了一年中的旅游“旺季”．那么，一年中的哪幾個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”？請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

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20．（本題滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來(lái)的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．

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已知無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比均為．

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   （1）試求無(wú)窮等比子數(shù)列（）各項(xiàng)的和；

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   （2）是否存在數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它各項(xiàng)的和為？若存在，求出滿足條件的子數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

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   （3）試設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，研究：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其各項(xiàng)和之間滿足某種關(guān)系．請(qǐng)寫出你的問(wèn)題以及問(wèn)題的研究過(guò)程和研究結(jié)論．

【第3小題說(shuō)明：本小題將根據(jù)你所設(shè)計(jì)的問(wèn)題的質(zhì)量分層評(píng)分；問(wèn)題的表達(dá)形式可以參考第2小題的表述方法．】

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、填空題：（5’×11＝55’）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

答案

0

(1,2)

2

題號(hào)

7

8

9

10

11

 

答案

4

8．3

②、③

 

二、選擇題：（4’×4＝16’）

題號(hào)

12

13

14

15

答案

A

C

B

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    • 20090116

    三、解答題：（12’＋14’＋15’＋16’＋22’＝79’）

    16．解：由條件，可得，故左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．

    設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

    因?yàn)?sub>，所以

    ,

    由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值4．

    所以，的模的最小值為2，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．

    17．解：（1）當(dāng)時(shí)，；

    當(dāng)且時(shí)，；

    當(dāng)時(shí)，；（不單獨(dú)分析時(shí)的情況不扣分）

    當(dāng)時(shí)，．

    （2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)無(wú)限；

    當(dāng)時(shí)，集合中的元素的個(gè)數(shù)有限，此時(shí)集合為有限集．

    因?yàn)?sub>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

    所以當(dāng)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)最少．

    此時(shí)，故集合．

    18．（本題滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

    解：

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     （2）解：如圖所示．由，，則面．

    所以，四棱錐的體積為

    ．

    19．解：（1）根據(jù)三條規(guī)律，可知該函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為12．

    由此可得，；

    由規(guī)律②可知，，

    ；

    又當(dāng)時(shí)，，

    所以，，由條件是正整數(shù)，故取．

        綜上可得，符合條件．

    （2） 解法一：由條件，，可得

    ，

    ，

    ，．

    因?yàn)?sub>，，所以當(dāng)時(shí)，，

    故，即一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”．

    解法二：列表，用計(jì)算器可算得

    月份

    …

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    …

    人數(shù)

    …

    383

    463

    499

    482

    416

    319

    …

    故一年中的7，8，9，10四個(gè)月是該地區(qū)的旅游“旺季”．

    20．解：（1）依條件得： 則無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為：

         ；

      （2）解法一：設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由條件得：，

    則，即    

    而  則 .

    所以，滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)、公比均為，

    其通項(xiàng)公式為，.

    解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．

    由………… ①

    又若，則對(duì)每一

    都有………… ②

    從①、②得；

    則；

    因而滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為無(wú)窮等比子

    數(shù)列，通項(xiàng)公式為，．

    （3）以下給出若干解答供參考，評(píng)分方法參考本小題閱卷說(shuō)明：

    問(wèn)題一：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和互為倒數(shù)？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．

    解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和之積為1。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

    ，

    因?yàn)榈仁阶筮吇驗(yàn)榕紨?shù)，或?yàn)橐粋�(gè)分?jǐn)?shù)，而等式右邊為兩個(gè)奇數(shù)的乘積，還是一個(gè)奇數(shù)。故等式不可能成立。所以這樣的兩個(gè)子數(shù)列不存在。

    【以上解答屬于層級(jí)3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分】

    問(wèn)題二：是否存在數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．

    解：假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和相等。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

    ………… ①

    若且，則①，矛盾；若且，則①

    ，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

    ①………… ②

    1當(dāng)時(shí)，②，等式左邊是偶數(shù)，

    右邊是奇數(shù)，矛盾；

    2當(dāng)時(shí)，②

    或

    ，

    兩個(gè)等式的左、右端的奇偶性均矛盾；

    綜合可得，不存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們的各項(xiàng)和相等。

    【以上解答屬于層級(jí)4，可得設(shè)計(jì)分5分，解答分7分】

    問(wèn)題三：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？若存在，求出所有滿足條件的子數(shù)列；若不存在，說(shuō)明理由．

    解：假設(shè)存在滿足條件的原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列。設(shè)這兩個(gè)子數(shù)列的首項(xiàng)、公比分別為和，其中且或，則

    ，

    顯然當(dāng)時(shí)，上述等式成立。例如取，，得：

    第一個(gè)子數(shù)列：，各項(xiàng)和；第二個(gè)子數(shù)列：，

    各項(xiàng)和，有，因而存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍。

    【以上解答屬層級(jí)3，可得設(shè)計(jì)分4分，解答分6分．若進(jìn)一步分析完備性，可提高一個(gè)層級(jí)評(píng)分】

    問(wèn)題四：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說(shuō)明理由．解（略）：存在。

    問(wèn)題五：是否存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得其中一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和等于另一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和的倍？并說(shuō)明理由．解（略）：不存在．

    【以上問(wèn)題四、問(wèn)題五等都屬于層級(jí)4的問(wèn)題設(shè)計(jì)，可得設(shè)計(jì)分5分。解答分最高7分】

     


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