12.用如圖所示的淺色水平傳送帶AB和斜面BC將貨物運送到斜面的頂端.AB距離L=11m,傳送帶始終以v=12m/s勻速順時針運行.傳送帶B端靠近傾角θ=37°的斜面底端,斜面底端與傳送帶的B端之間有一段長度可以不計的小圓。贏、C處各有一個機器人,A處機器人每隔t=1.0s將一個質(zhì)量m=10kg、底部有碳粉的貨物箱(可視為質(zhì)點)輕放在傳送帶A端,貨物箱經(jīng)傳送帶和斜面后到達斜面頂端的C點時速度恰好為零,C點處機器人立刻將貨物箱搬走.已知斜面BC的長度s=5.0m,傳送帶與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ0=0.55,貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的$\frac{1}{11}$,不計傳送帶輪的大小,g=10m/s2(sin37°=0.6,cos37°=0.8).求:
(1)斜面與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ;
(2)如果C點處的機器人操作失誤,未能將第一個到達C點的貨物箱搬走而造成與第二個貨物箱在斜面上相撞.求兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離; (本問結(jié)果可以用根式表示)
(3)從第一個貨物箱放上傳送帶A端開始計時,在t0=2s的時間內(nèi),貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度.

分析 (1)貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程,根據(jù)牛頓第二定律求出加速度,由速度位移關系公式求出貨物箱運動到傳送帶右端時的速度大小,根據(jù)貨物箱由傳送帶的右端到斜面底端的過程中速度大小損失原來的,得到貨物箱剛沖上斜面時的速度.貨物箱在斜面上向上運動過程中做勻減速運動,已知初速度、末速度為零,位移為s,由速度位移關系公式求出加速度大小,由牛頓第二定律求出斜面與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)μ.
(2)由運動學公式分別求出貨物箱由A運動到B的時間和由B運動到C的時間,得到第一個貨物箱沖上斜面C端時第二個貨物箱剛好沖上斜面,然后貨物箱沿斜面向下做勻加速運動,
由牛頓第二定律求出加速度,當?shù)谝粋貨物箱與第二個貨物箱相遇時,兩者位移大小之和等于斜面的長度s,由位移公式求出相遇時間,再求出兩個貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離.
(3)根據(jù)位移公式求出第1s內(nèi)貨箱和傳送帶運動的位移,進而得出貨箱第1s留下的痕跡,同理,再求出第2s內(nèi)第一個貨箱留下的痕跡,從而知道第一、二兩個貨箱由1m重合,t0=2s時,第二個貨箱在傳送帶上運動了1s,留下的痕跡與第一個貨箱留下的痕跡相等,最后求出2s內(nèi)貨物箱在傳送帶上留下的痕跡的總長度.

解答 解:(1)貨物箱在傳送帶上做勻加速運動過程,根據(jù)牛頓第二定律有:μ0mg=ma1
解得:a10g=0.55×10=5.5m/s2
到傳送帶右端的速度為:${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}L}$=$\sqrt{2×5.5×11}$m/s=11m/s,
v1<v=12m/s,說明貨物箱在傳送帶上一直做勻加速運動,
運動至斜面底端的速度為:${v}_{2}={v}_{1}-\frac{1}{11}{v}_{1}=\frac{10}{11}{v}_{1}=\frac{10}{11}×11m/s$=10m/s,
貨箱在斜面上滑過程有:${a}_{2}=μgcosθ+gsinθ=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2s}$,
代入數(shù)據(jù)解得:μ=0.5.
(2)貨箱沿斜面上滑過程有:a2=μgcosθ+gsinθ=0.5×10×0.8+10×0.6m/s2=10m/s2
t1=1s,第二個貨物箱在斜面B端時與第一個貨物箱剛好從C端下滑,
貨箱沿斜面下滑過程,根據(jù)牛頓第二定律有:a3=gsinθ-μgcosθ=6-4m/s2=2m/s2
設第一個貨物箱在斜面C端沿斜面向下運動與第二個貨物箱相撞的過程所用時間為t2,有:
$s={v}_{2}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{{t}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{2}}^{2}$,
解得:${t}_{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{4}s$,
兩個貨物箱在斜面上相遇的位置到C端的距離:d=$\frac{1}{2}{a}_{3}{{t}_{2}}^{2}=\frac{15-5\sqrt{5}}{8}m$.
(3)第1s內(nèi),貨箱的位移:${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×5.5×1m=2.75m$,
傳送帶的位移:x2=vt=12×1m=12m,
第1s留下的痕跡:d1=x2-x1=12-2.75m=9.25m.
則t=1s時,第二個貨箱輕放在第一個貨物后2.75m處,第一個貨箱前9.25m有痕跡
第2s內(nèi),對第一個貨箱:v0=a1t=5.5×1m/s=5.5m/s,
${x}_{1}′={v}_{0}t+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$=$5.5×1+\frac{1}{2}×5.5×1$m=8.25m,
第一個貨箱留下的痕跡:d2=x2-x1′=12-8.25m=3.75m,
可知一二兩個貨箱的痕跡有1m重合,
t0=2s時,第二個貨箱在傳送帶上運動了1s,留下的痕跡:d3=d1=9.25m,
則2s內(nèi),貨箱留下的痕跡總長度為:△s=d1+d2+d3-1m=21.25m.
答:(1)斜面與貨物箱之間的動摩擦因數(shù)為0.5;
(2)兩個貨物箱在斜面上相撞的位置到C點的距離為$\frac{15-5\sqrt{5}}{8}m$;
(3)貨物箱在傳送帶上留下的痕跡長度為21.25m.

點評 此題文字較多,首先要有耐心讀題,該題涉及到相對運動的過程,要認真分析物體的受力情況和運動情況,對于傳送帶問題,關鍵是分析物體的運動情況,要邊計算邊分析,不能只定性分析.

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