Question

3．如圖所示，地面上有一固定的小球，球面的斜上方P處有一小球，現(xiàn)要確定一條從P到球面的光滑斜直軌道，使小球從靜止開始沿軌道滑行到球面上經(jīng)歷時(shí)間最短．

Answer 1

分析 先求證小球從豎直平面的圓頂點(diǎn)沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)到任何方向圓外邊緣的時(shí)間相同，且求出關(guān)系式；作圖找出最短時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌道，根據(jù)三角關(guān)系求出相關(guān)的物理量，求出最短時(shí)間．

解答 解：（1）求證：如圖所示小球從豎直平面的半徑為R′的圓的頂點(diǎn)，沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)到任何方向圓外邊緣，

任取一條軌道PQ，PQ與水平面的夾角為Φ，
由三角關(guān)系得PQ的長度為：l=2R′sinΦ
由牛頓第二定律得，沿光滑斜面下滑的加速度為：a=gsinΦ
由位移時(shí)間公式得，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\sqrt{\frac{2l}{a}}$即運(yùn)動(dòng)時(shí)間與角度無關(guān)，故對(duì)應(yīng)任何軌道的時(shí)間均相同．
（2）作圖：以P為頂點(diǎn)作一半徑為r的球面，使其與所給球面相切與Q，如圖所示：

由（1）可知右上圓內(nèi)從P點(diǎn)到圓的外邊緣的時(shí)間是相同的，故PQ₁、PQ₂用時(shí)均長于PQ用時(shí)，
則線段PQ即為所求的用時(shí)最短的軌道．
（3）解題：把上圖轉(zhuǎn)化如下：

∠OPO′=α，
由三角關(guān)系得：$cosα=\frac{\overline{PC}}{\overline{OP}}=\frac{H-R}{L}$
$（R+r）_{\;}^{2}={L}_{\;}^{2}+{r}_{\;}^{2}-2Lrcosα$
聯(lián)立以上兩式解得：$r=\frac{{L}_{\;}^{2}-{R}_{\;}^{2}}{2H}$
由（1）知，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{min}^{\;}=2\sqrt{\frac{r}{g}}=2\sqrt{\frac{\frac{{L}_{\;}^{2}-{R}_{\;}^{2}}{2H}}{g}}=\sqrt{\frac{2（{L}_{\;}^{2}-{R}_{\;}^{2}）}{Hg}}$
答：所需的最短時(shí)間為$\sqrt{\frac{2（{L}_{\;}^{2}-{R}_{\;}^{2}）}{Hg}}$

點(diǎn)評(píng) 本題很難，需要綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和物理知識(shí)，對(duì)于作圖要求較高，需要準(zhǔn)確掌握三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)．