Question

15．如圖，光滑的平行金屬導(dǎo)軌ac、bd之間用阻值均為R的電阻絲ab和cd相連，導(dǎo)軌平面與水平方向成θ=30°角，abdc平面內(nèi)有垂直平面的磁感強度為B的勻強磁場，現(xiàn)讓一質(zhì)量m，電阻為$\frac{R}{2}$的金屬棒從頂端由靜止釋放，（金屬棒與導(dǎo)軌垂直）．并已知金屬捧在到達底端以前已經(jīng)作勻速運動，金屬棒的長度和導(dǎo)軌之間間距相同，均為L，導(dǎo)軌長度為2L，金屬棒在導(dǎo)軌上運動的整個過中，求：

（1）通過金屬棒的電量．
（2）金屬棒上產(chǎn)生的焦耳熱及電路最大的熱功率．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢，由歐姆定律求出電流，由q=It求出電荷量；
（2）根據(jù)功能關(guān)系即可求出產(chǎn)生的焦耳熱，電路中的最大熱功率等于減小的機械能的功率，由此即可求出．

解答 解：（1）導(dǎo)體棒在向下運動的過程中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢相當(dāng)于電源，與電阻ab、cd組成的等效電路如圖：

則電路的外電阻：${R}_{外}=\frac{R}{2}$
設(shè)金屬棒從開始運動到到達cd的時間為t，則平均電動勢：$\overline{E}=\frac{△Φ}{t}=\frac{BL•2L}{t}$
通過金屬棒的電量：q=$\overline{I}t=\frac{\overline{E}}{{R}_{總}}•t$
其中：${R}_{總}=\frac{R}{2}+{R}_{外}=\frac{R}{2}+\frac{R}{2}=R$
聯(lián)立得：q=$\frac{2B{L}^{2}}{R}$
（2）設(shè)金屬棒的最大速度為v，則最大電動勢：E=BLv
電路中的電流：I=$\frac{E}{{R}_{總}}=\frac{BLv}{R}$
此時金屬棒受到的安培力與重力沿斜面向下的分量大小相等方向相反，則：BIL=mgsinθ
聯(lián)立得：v=$\frac{mgR}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
金屬棒到達cd時，由功能關(guān)系得：
${Q}_{熱}=mg•2Lsin30°-\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立得：Q_熱=$mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{8{B}^{4}{L}^{4}}$
由于金屬棒的電阻值與外電路的電阻值相等，所以金屬棒上此時的焦耳熱與外電路上產(chǎn)生的焦耳熱相等，則：Q=$\frac{{Q}_{總}}{2}$=$\frac{1}{2}mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$
當(dāng)達到穩(wěn)定后，電路中消耗的熱功率等于金屬棒減小的機械能的功率，則：P_m=mgsinθ•v
聯(lián)立得：${P}_{m}=\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）通過金屬棒的電量是$\frac{2B{L}^{2}}{R}$．
（2）金屬棒上產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{1}{2}mgL-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{L}^{4}}$，電路最大的熱功率是$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{L}^{2}}$．

點評 應(yīng)明確：①遇到電磁感應(yīng)問題，首先找出電源，畫出感應(yīng)電動勢方向，寫出感應(yīng)電動勢大小，然后再求解；②遇到傾斜導(dǎo)軌問題，應(yīng)畫出側(cè)視圖，再進行受力分析，從而列出平衡方程或牛頓第二定律表達式；③涉及到電熱問題，應(yīng)根據(jù)能量守恒定律求解．