Question

17．如圖，A、B分別是光滑斜面的頂端和底端，F(xiàn)是斜面上的一個點，E點在F點的正上方，從E點以一定的水平速度拋出一個彈性小球，小球與斜面之間的碰撞無能量損失，其中EF間的高度為H，斜面的傾角為α=60°，重力加速度為g，斜面足夠長，不計空氣陽力．（計算結(jié)果可以用根式表示）
（1）如果小球正好垂直打在斜面上，求小球在碰撞之前在空中飛行的時間為多少？
（2）如果小球與斜面碰撞后，恰好水平飛出，求小球第1次碰撞時速度的大小；
（3）如果小球與斜面碰撞后，恰好水平飛出，求小球從第1次與斜面碰撞到第n次碰撞時，小球的位移是多少？

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運動，正好垂直打在斜面上時速度與斜面垂直．根據(jù)幾何關(guān)系分析小球打在斜面上時分速度的關(guān)系，由平拋分位移公式求小球在碰撞之前在空中飛行的時間．
（2）根據(jù)對稱性可知，小球落在斜面上時的速度方向與水平方向成α角．再用同樣的方法求出時間，再由分速度公式和速度合成求小球第1次碰撞時速度．
（3）小球從第1次與斜面碰撞后，把此運動分解為平行于斜面與垂直于斜面兩個方向．垂直于斜面方向建立y軸：小球先正向勻減速到0，然后返回與斜面相碰，以后重復(fù)，周期性往復(fù)運動，且運動周期為 T=$\frac{2v′sinα}{gcosα}$．沿斜面向下建立x軸，在x軸上小球做初速度為v′cosα、加速度為 gsinα的勻加速直線運動．根據(jù)周期性和位移公式求解位移．

解答 解：（1）小球正好垂直打在斜面上，根據(jù)平拋運動的規(guī)律有
 
 水平方向：x=v₀t
  豎直方向：h₁=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
由幾何關(guān)系得 $\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$=tan60°
聯(lián)立以上三式解得 x=2$\sqrt{3}$h₁
則 h₂=xtan60°=6h₁
而 H=h₁+h₂，
可得 h₁=$\frac{H}{7}$
由 h₁=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得 t=$\sqrt{\frac{2H}{7g}}$
（2）根據(jù)反射角等于入射角知，小球落在斜面上時的速度方向與水平方向成α角．
由圖得 $\frac{{v}_{y}′}{{v}_{0}}$=tan60°
平拋運動過程，水平方向有：
     x′=v₀t′
豎直方向有：h₁′=$\frac{{v}_{y}′}{2}t′$
由上得 x′=$\frac{2}{\sqrt{3}}$h₁′
而 h₂′=x′tan60°=$\frac{2}{3}$h₁′
又 h₂′+$\frac{2}{3}$h₁′=H
解得 h₁′=$\frac{3}{5}$H，x′=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$H
由 h₁′=$\frac{1}{2}gt{′}^{2}$，得 t′=$\sqrt{\frac{6H}{5g}}$
小球落在斜面上時豎直分速度 v_y′=gt′=$\sqrt{\frac{6}{5}gH}$
水平分速度 v₀=$\frac{x′}{t′}$=$\sqrt{\frac{2}{5}gH}$
小球第1次碰撞時速度的大小為 v₁′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}{′}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8}{5}gH}$=2$\sqrt{\frac{2}{5}gH}$
（3）把此運動分解為平行于斜面與垂直于斜面兩個方向．如圖．

y軸上：小球先正向勻減速到0，然后返回與斜面相碰，以后重復(fù)，周期性往復(fù)運動，且運動周期為 T=$\frac{2v′sinα}{gcosα}$=4$\sqrt{\frac{6H}{5g}}$
x軸上做初速度為v′cosα、加速度為 gsinα的勻加速直線運動．
小球從第1次與斜面碰撞到第n次碰撞，歷時 t₀=（n-1）T
位移 x=v′cosα•t₀+$\frac{1}{2}$gsinα$•{t}_{0}^{2}$
綜上解得 x=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$（n-1）（3n+1）H
答：
（1）小球在碰撞之前在空中飛行的時間為$\sqrt{\frac{2H}{7g}}$．
（2）如果小球與斜面碰撞后，恰好水平飛出，小球第1次碰撞時速度的大小是2$\sqrt{\frac{2}{5}gH}$；
（3）如果小球與斜面碰撞后，恰好水平飛出，小球從第1次與斜面碰撞到第n次碰撞時，小球的位移是$\frac{8\sqrt{3}}{5}$（n-1）（3n+1）H．

點評 利用平拋運動的規(guī)律，在水平和豎直方向列方程，同時要充分的利用三角形的邊角關(guān)系，找出內(nèi)在的聯(lián)系．本題還要掌握平拋運動的兩種分解方法，靈活選擇解題方法．