Question

10．彈跳桿運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)廣受歡迎的運(yùn)動(dòng)．某種彈跳桿的結(jié)構(gòu)如圖甲所示，一根彈簧套在T型跳桿上，彈簧的下端固定在跳桿的底部，上端固定在一個(gè)套在跳桿上的腳踏板底部．一質(zhì)量為M的小孩站在該種彈跳桿的腳踏板上，當(dāng)他和跳桿處于豎直靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，彈簧的壓縮量為x₀．從此刻起小孩做了一系列預(yù)備動(dòng)作，使彈簧達(dá)到最大壓縮量3x₀，如圖乙（a）所示；此后他開始進(jìn)入正式的運(yùn)動(dòng)階段．在正式運(yùn)動(dòng)階段，小孩先保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，在彈簧恢復(fù)原長時(shí)，小孩抓住跳桿，使得他和彈跳桿瞬間達(dá)到共同速度，如圖乙（b）所示；緊接著他保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升到最大高度，如圖乙（c）所示；然后自由下落．跳桿下端觸地（不反彈）的同時(shí)小孩采取動(dòng)作，使彈簧最大壓縮量再次達(dá)到3x₀；此后又保持穩(wěn)定姿態(tài)豎直上升，…，重復(fù)上述過程．小孩運(yùn)動(dòng)的全過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi)．已知跳桿的質(zhì)量為m，重力加速度為g．空氣阻力、彈簧和腳踏板的質(zhì)量、以及彈簧和腳踏板與跳桿間的摩擦均可忽略不計(jì)．

（1）在預(yù)備階段，小孩從靜止?fàn)顟B(tài)所在的A點(diǎn)開始下降至某點(diǎn)B，后又上升至壓縮量為2x₀的C點(diǎn)的過程，設(shè)彈簧在B點(diǎn)處的壓縮量為x_m（2x₀＜x_m＜3x₀），求小孩從A到B再到C的過程中彈簧彈力做的功W，并說明W與x_m無關(guān)；
（2）在整個(gè)預(yù)備動(dòng)作階段，為增加系統(tǒng)（小孩和彈跳桿）的機(jī)械能，求小孩至少需做的功W′；
（3）求正式運(yùn)動(dòng)階段每個(gè)周期內(nèi)，小孩至少需要給系統(tǒng)（小孩和彈跳桿）補(bǔ)充的能量E．

Answer 1

分析 （1）畫出小孩從A到B再到C的過程中彈簧彈力與彈簧壓縮量x對應(yīng)的圖象，根據(jù)F-x圖的面積代表F所做的功的大小，求得彈力做的功W，列式分析．
（2）在整個(gè)預(yù)備動(dòng)作階段，小孩做的功等于其機(jī)械能的變化量與彈簧彈性勢能變化量之和．
（3）正式運(yùn)動(dòng)階段，當(dāng)彈跳桿觸地前瞬間，彈簧處于原長狀態(tài)，由機(jī)械能守恒定律可知，小孩和彈跳桿的速度均為v₁．彈跳桿觸地瞬間，桿的速度減為0，小孩保持v₁的速度．此后小孩以v₁的初速度向下壓縮彈簧，由能量守恒可知，為使每個(gè)周期內(nèi)彈簧的最大壓縮量為3x₀，根據(jù)功能關(guān)系求解．

解答 解：（1）畫出彈簧彈力F的大小與彈簧壓縮量x關(guān)系圖如圖，F(xiàn)-x圖的面積代表F所做的功的大小．

下降階段，彈簧壓縮量從x₀到x_m的過程，彈簧彈力做負(fù)功，為
W₁=-$\frac{1}{2}$（kx₀+kx_m）（x_m-x₀）=$\frac{1}{2}$kx₀²-$\frac{1}{2}$kx_m²．
上升階段，彈簧壓縮量從x_m到2x₀的過程，彈簧彈力做正功，為
W₂=+$\frac{1}{2}$[kx_m+k（2x₀）]（x_m-2x₀）=$\frac{1}{2}$kx_m²-$\frac{1}{2}$k（2x₀）²
則彈簧彈力做的功 W=W₁+W₂=$\frac{1}{2}$kx₀²-$\frac{1}{2}$kx_m²+$\frac{1}{2}$kx_m²-$\frac{1}{2}$k（2x₀）²=-$\frac{3}{2}$kx₀²，與x_m無關(guān)．
（2）由功能關(guān)系可知，在預(yù)備階段，小孩至少需做的功W′應(yīng)滿足
W′=△E_k+△E_pG+△E_p彈=0+[-Mg（3x₀-x₀）]+[$\frac{1}{2}$k（3x₀）²-$\frac{1}{2}$kx₀²]=2Mgx₀
（3）正式運(yùn)動(dòng)階段，當(dāng)彈跳桿觸地前瞬間，彈簧處于原長狀態(tài)，由機(jī)械能守恒定律可知，小孩和彈跳桿的速度均為v₁．彈跳桿觸地瞬間，桿的速度減為0，小孩保持v₁的速度．此后小孩以v₁的初速度向下壓縮彈簧，由能量守恒可知，為使每個(gè)周期內(nèi)彈簧的最大壓縮量為3x₀，至少需要給（小孩和彈跳桿）系統(tǒng)補(bǔ)充的能量E滿足
   E=△E_k+△E_pG+△E_p彈=[0-$\frac{1}{2}$Mv₁²]+[-Mg（3x₀）]+[$\frac{1}{2}$k（3x₀）²-0]=$\frac{3}{2}$[1-$\frac{{M}^{2}}{（M+m）^{2}}$]Mgx₀=$\frac{3（2M+m）Mmg{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$
答：（1）小孩從A到B再到C的過程中彈簧彈力做的功W為-$\frac{3}{2}$kx₀²，與x_m無關(guān)．
（2）小孩至少需做的功W′為2Mgx₀．
（3）正式運(yùn)動(dòng)階段每個(gè)周期內(nèi)，小孩至少需要給系統(tǒng)（小孩和彈跳桿）補(bǔ)充的能量E為$\frac{3（2M+m）Mmg{x}_{0}}{2（M+m）^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用，要注意正確分析全過程，明確彈簧的彈性勢能與重力勢能之間的轉(zhuǎn)化及守恒規(guī)律的應(yīng)用，即注意能量轉(zhuǎn)化的方向問題．