Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（a＞0且a≠1）．

（1）求f（x）的定義域；

（2）當0＜a＜1時，判斷f（x）在（2，+∞）的單惆性；

（3）是否存在實數(shù)a，使得當f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1+logan，1+1ogam]，若存在，求出實數(shù)a的范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析；（3）存在這樣的實數(shù)a∈（0，）符合題意.

【解析】

（1）由對數(shù)式的真數(shù)大于0求解函數(shù)的定義域；

（2）利用分離常數(shù)法判斷真數(shù)的單調(diào)性，再由復合函數(shù)的單調(diào)性得答案；

（3）把的定義域為，時值域為，轉(zhuǎn)化為在上為減函數(shù)，進一步得到在上有兩個互異實根，令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式組求解．

（1）由＞0，得x＜-2或x＞2．

∴f（x）的定義域為（-∞，-2）∪（2，+∞）；

（2）令t（x）==1-，t（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，

又0＜a＜1，

∴f（x）在（2，+∞）上為減函數(shù)；

（3）假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，使得當f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1+logan，1+1ogam]，

由m＜n且1+logan，1+1ogam，

即m＜n1+logan，1+1ogam，可得0＜a＜1．

t（x）=1-在（2，+∞）上為增函數(shù)，

又∵0＜a＜1，

∴f（x）在（2，+∞）上為減函數(shù)，

∴，

∴，即在（2，+∞）上有兩個互異實根，

令g（x）=ax2+（2a-1）x+2，

則，解得0＜a＜．

又∵0＜a＜1，故存在這樣的實數(shù)a∈（0，）符合題意．