【題目】已知橢圓的左右頂點是雙曲線的頂點,且橢圓的上頂點到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與相交于兩點,與相交于兩點,且,求的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
由雙曲線的頂點可得,求出雙曲線的漸近線方程,運用點到直線的距離公式可得,即可得到橢圓方程
設直線的方程為,聯(lián)立雙曲線方程,消去,運用韋達定理和判別式大于,結合向量的數(shù)量積的坐標表示,求得的關系式,再由直線方程和橢圓方程聯(lián)立,運用韋達定理和弦長公式,計算即可得到所求
(1)由題意可知:,
又橢圓的上頂點為,
雙曲線的漸近線為:,
由點到直線的距離公式有:,
所以橢圓的方程為。
(2)易知直線的斜率存在,設直線的方程為,代入,消去并整理得:
,
要與相交于兩點,則應有:
設,
則有:,.
又 .
又:,所以有: ,
,②
將,代入,消去并整理得:,
要有兩交點,則 .③
由①②③有:
設、.
有:,
.
將代入有:
.
,令,
令 ,.
所以在內(nèi)恒成立,故函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,
故 .
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【題目】已知點為圓的圓心, 是圓上的動點,點在圓的半徑上,且有點和上的點,滿足, .
(1)當點在圓上運動時,求點的軌跡方程;
(2)若斜率為的直線與圓相切,直線與(1)中所求點的軌跡交于不同的兩點, , 是坐標原點,且時,求的取值范圍.
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【題目】設函數(shù)f(x)= (a>0,且a≠1).
①若a= ,則函數(shù)f(x)的值域為;
②若f(x)在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是 .
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形,側棱PA⊥底面ABCD,且PA=AD,E,F(xiàn)分別是線段PA,PD的中點,H在線段AB上.
(1)求證:PC⊥AF;
(2)若平面PBC∥平面EFH,求證H是AB的中點;
(3)若AD=4,AB=2,求點D到平面PAC的距離.
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【題目】下列函數(shù)中,在其定義域上既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞減的是( )
A.y=x2
B.y=x+1
C.y=﹣lg|x|
D.y=﹣2x
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【題目】已知函數(shù)f(x)=asinx﹣ cosx(a∈R)的圖象經(jīng)過點( ,0).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈[ , ],求f(x)的取值范圍.
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【題目】如圖,已知平面,,是邊長為2的等邊三角形,為的中點,且;
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】如圖,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面AA1C1C是菱形,側面ABB1A1⊥側面AA1C1C,A1B=AB=AA1=2,△AA1C1的面積為 ,且∠AA1C1為銳角.
(I) 求證:AA1⊥BC1;
(Ⅱ)求銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值.
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【題目】已知橢圓 的焦距為 ,且過點 ,設 , 是 上的兩個動點,線段 的中點 的橫坐標為 ,線段 的中垂線交橢圓 于 , 兩點.
(1)求橢圓 的方程;
(2)設點縱坐標為m,求直線的方程,并求出 的取值范圍.
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