【題目】如圖,斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面AA1C1C是菱形,側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面AA1C1C,A1B=AB=AA1=2,△AA1C1的面積為 ,且∠AA1C1為銳角.
(I) 求證:AA1⊥BC1;
(Ⅱ)求銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值.
【答案】證明:(Ⅰ)∵側(cè)面AA1C1C是菱形,且A1B=AB=AA1=2,
∴AA1=A1C1=C1C=CD=2,△AA1B是等邊三角形,
取AA1的中點(diǎn)D,連結(jié)DB、DC1 , 則AA1⊥BD,
由 = =2sin∠AA1C1= ,
得sin∠AA1C1= ,
又∠AA1C1為銳角,
∴∠AA1C1=60°,
∴△AA1C1是等邊三角形,且AA1⊥C1D,
又∵BD平面BC1D,C1D平面BC1D,BD∩C1D=D,
∴AA1⊥平面BC1D,
∴AA1⊥BC1 .
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知AA1⊥BD,
又∵側(cè)面ABB1A1⊥側(cè)面AA1C1C,
側(cè)面ABB1A1∩側(cè)面AA1C1C=AA1 , BD平面ABB1A1 ,
∴BD⊥平面AA1C1C,
以D為原點(diǎn),C1D為x軸,DA1為y軸,DB為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,﹣1,0),A1(0,1,0),C1(﹣ ,0,0),B(0,0, ),D(0,0,0),
, =(0,1, ),
=(0,0, )是平面ACC1的一個法向量,
設(shè) =(x,y,z)是平面ABC的一個法向量,
則 ,令z=1,得 =(1,﹣ ,1),
∴cos< >= = = ,
∴銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值為 .
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出△AA1B是等邊三角形,取AA1的中點(diǎn)D,則AA1⊥BD,再推導(dǎo)出△AA1C1是等邊三角形,且AA1⊥C1D,由此能證明AA1⊥BC1 . (Ⅱ)以D為原點(diǎn),C1D為x軸,DA1為y軸,DB為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出銳二面角B﹣AC﹣C1的余弦值.
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知垂直于同一個平面的兩條直線平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a、b、c,且2sin2A+3cos(B+C)=0.
(1)求角A的大;
(2)若△ABC的面積S=5 ,a= ,求sinB+sinC的值.
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【題目】已知橢圓的左右頂點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn),且橢圓的上頂點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與相交于兩點(diǎn),與相交于兩點(diǎn),且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ﹣ax+cosx(a∈R),x∈[﹣ , ].
(1)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),試求a的值;
(2)當(dāng)a>0時,求證:函數(shù)f(x)在(0, )上單調(diào)遞減.
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【題目】已知雙曲線C:(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上.
(I)求雙曲線C的方程.
(II)若斜率為1的直線l與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),且=0,求直線l方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ax2+ .
(I) 當(dāng)a= 時,判斷f(x)在其定義上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個極值點(diǎn)x1 , x2 , 其中x1<x2 . 求證:
(i)f(x2)>0;
(ii)x1+x2> .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , a4+a7=20,對任意的k∈N都有Sk+1=3Sk+k2 .
(I) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)數(shù)列{bn}定義如下:2mbm(m∈N*)是使不等式an≥m成立所有n中的最小值,求{bn}的通項(xiàng)公式及{(﹣1)m﹣1bm}的前2m項(xiàng)和T2m .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣x+ +1(a∈R).
(1)討論f(x)的單調(diào)性與極值點(diǎn)的個數(shù);
(2)當(dāng)a=0時,關(guān)于x的方程f(x)=m(m∈R)有2個不同的實(shí)數(shù)根x1 , x2 , 證明:x1+x2>2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (x>0).
(1)試判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(2)若f(x)> 恒成立,求整數(shù)k的最大值;
(3)求證:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n﹣3 .
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