【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)求證:方程有兩個實數(shù)根;
(3)求證:.
【答案】(1)(2)證明見解析;(3)證明見解析;
【解析】
(1)求導(dǎo)得到,再求得,,寫出切線方程.
(2)令,求導(dǎo),設(shè),則,結(jié)合,得到在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,再利用零點存在定理求解.
(3)設(shè),則,將證明,轉(zhuǎn)化為證明成立,易知恒成立,則要證,只需證為單調(diào)遞減函數(shù),然后用導(dǎo)數(shù)法證明即可.
(1)因為,
所以,
所以,,
所以的圖象在處的切線方程為,即.
(2)設(shè),定義域為,
,
設(shè),
因為,所以,因此在上單調(diào)遞減,
又,所以時,,在上單調(diào)遞增,
時,,在上單調(diào)遞減,
因此,而,
所以在上有一個零點,
而,
所以在上有一個零點,
故方程有兩個實數(shù)根.
(3)設(shè),則,
不等式,即為,
設(shè)
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以
所以
所以恒成立,
所以要證,只需證為單調(diào)遞減函數(shù).
,
設(shè)
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以
所以恒成立,
則
即,
所以,
所以為單調(diào)遞減函數(shù),
故.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙、丙、丁、戊五人去參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三科競賽,每個同學(xué)只能參加一科競賽,若每個同學(xué)可以自由選擇,則不同的選擇種數(shù)是____;若甲和乙不參加同一科,甲和丙必須參加同一科,且這三科都有人參加,則不同的選擇種數(shù)是_____.(用數(shù)字作答)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點為,,P是橢圓C上一點.若橢圓C的離心率為,且,的面積為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知O是坐標(biāo)原點,向量,過點(2,0)的直線l與橢圓C交于M,N兩點.若點滿足,,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓周率π是數(shù)學(xué)中一個非常重要的數(shù),歷史上許多中外數(shù)學(xué)家利用各種辦法對π進(jìn)行了估算.現(xiàn)利用下列實驗我們也可對圓周率進(jìn)行估算.假設(shè)某校共有學(xué)生N人,讓每人隨機(jī)寫出一對小于1的正實數(shù)a,b,再統(tǒng)計出a,b,1能構(gòu)造銳角三角形的人數(shù)M,利用所學(xué)的有關(guān)知識,則可估計出π的值是( )
A.B.C.D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,點的極坐標(biāo),直線經(jīng)過點,且傾斜角為.
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程;
(2)直線與曲線交于兩點,直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線與曲線交于兩點,求證:.
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【題目】已知函數(shù)f(x)3,g(x)=alnx﹣2x(a∈R).
(1)討論g(x)的單調(diào)性;
(2)是否存在實數(shù)a,使不等式f(x)≥g(x)恒成立?如果存在,求出a的值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asinB=bsin(A+).
(1)求A;
(2)若b,a,c成等差數(shù)列,△ABC的面積為2,求a.
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【題目】近年來,我國電子商務(wù)行業(yè)迎來了蓬勃發(fā)展的新機(jī)遇,但是電子商務(wù)行業(yè)由于缺乏監(jiān)管,服務(wù)質(zhì)量有待提高.某部門為了對本地的電商行業(yè)進(jìn)行有效監(jiān)管,調(diào)查了甲、乙兩家電商的某種同類產(chǎn)品連續(xù)十天的銷售額(單位:萬元),得到如下莖葉圖:
甲 | 乙 | |||||
7 | 5 | 10 | 7 | |||
9 | 5 | 3 | 11 | 5 | 7 | 8 |
8 | 6 | 12 | 3 | 5 | ||
4 | 2 | 13 | 2 | 6 | 9 | |
1 | 14 | 8 |
(1)根據(jù)莖葉圖判斷甲、乙兩家電商對這種產(chǎn)品的銷售誰更穩(wěn)定些?
(2)為了綜合評估本地電商的銷售情況,從甲、乙兩家電商十天的銷售數(shù)據(jù)中各抽取兩天的銷售數(shù)據(jù),其中銷售額不低于120萬元的天數(shù)分別記為,令,求隨機(jī)變量Y的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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