【題目】己知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)的最小值為-1,,數(shù)列滿足,,記,表示不超過的最大整數(shù).證明:.
【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ)見解析.
【解析】分析:(Ⅰ)函數(shù)求導,討論和兩種情況即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù)的最小值點為,得,令,進而得,則由歸納可猜想當時,,利用數(shù)學歸納法可證得,于是,,則,從而利用裂項相消法可得證.
詳解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為.
1、當時,,即在上為增函數(shù);
2、當時,令得,即在上為增函數(shù);
同理可得在上為減函數(shù).
(Ⅱ)有最小值為-1,由(Ⅰ)知函數(shù)的最小值點為,
即,則,
令,
當時,,故在上是減函數(shù)
所以當時
∵,∴.(未證明,直接得出不扣分)
則.由得,
從而.∵,∴.
猜想當時,.
下面用數(shù)學歸納法證明猜想正確.
1、當時,猜想正確.
2、假設時,猜想正確.
即時,.
當時,有,
由(Ⅰ)知是上的增函數(shù),
則,即,
由得.
綜合1、2得:對一切,猜想正確.
即時,.
于是,,則.
故
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【題目】已知二次函數(shù).
(1)若的解集為,且方程有兩個相等的根,求解析式;
(2)若,且對任意實數(shù)均有成立,當時,是單調函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若時,討論函數(shù)的單調性;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某地區(qū)有小學21所,中學14所,大學7所,現(xiàn)采取分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調查。
(I)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目。
(II)若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數(shù)據分析,
(1)列出所有可能的抽取結果;
(2)求抽取的2所學校均為小學的概率。
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【題目】生物學家預言,21世紀將是細菌發(fā)電造福人類的時代。說起細菌發(fā)電,可以追溯到1910年,英國植物學家利用鉑作為電極放進大腸桿菌的培養(yǎng)液里,成功地制造出世界上第一個細菌電池。然而各種細菌都需在最適生長溫度的范圍內生長。當外界溫度明顯高于最適生長溫度,細菌被殺死;如果在低于細菌的最低生長溫度時,細菌代謝活動受抑制。為了研究某種細菌繁殖的個數(shù)是否與在一定范圍內的溫度有關,現(xiàn)收集了該種細菌的6組觀測數(shù)據如下表:
經計算得:,,線性回歸模型的殘差平方和.其中分別為觀測數(shù)據中的溫度與繁殖數(shù),.
參考數(shù)據:,,
(Ⅰ)求關于的線性回歸方程(精確到0.1);
(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得關于回歸方程為,且非線性回歸模型的殘差平方和.
(。┯孟嚓P指數(shù)說明哪種模型的擬合效果更好;
(ⅱ)用擬合效果好的模型預測溫度為34℃時該種細菌的繁殖數(shù)(結果取整數(shù)).
附:一組數(shù)據,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計為,;
相關指數(shù)
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【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點O為極點,以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為.
(1)求曲線C1的極坐標方程和C2的直角坐標方程;
(2)射線OP:(其中)與C2交于P點,射線OQ:與C2交于Q點,求的值.
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【題目】如圖,已知平面ABC,,,,,,點E和F分別為BC和的中點.
(1)求證:平面;
(2)求證:直線平面;
(3)求直線與平面所成角的大小.
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