【題目】如圖,在四棱錐中,平面,,,,,是的中點.
(1)求和平面所成的角的大小.
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)推導出.又,從而平面.進而為和平面所成的角,由此能示出和平面所成的角的大。
(2)推導出,從而平面,進而平面.過點作,垂足為,連接,則是二面角的平面角.由此能求出二面角的正弦值.
解:(1)在四棱錐中,∵平面,平面,
∴.又,,∴平面.
故在平面內(nèi)的射影為,從而為和平面所成的角.
在中,,故.
所以和平面所成的角的大小為.
(2)在四棱錐中,∵平面,平面,∴.
由條件,,∴平面.
又∵平面,∴.由,,可得.
∵是的中點,∴.又∵,∴平面.
過點作,垂足為,連接,如圖所示.
∵平面,在平面內(nèi)的射影是,
∴.∴是二面角的平面角.
由已知∵,∴設(shè),
則,,,.
中,.
在中,∵,∴,得.
在中,.
所以二面角的正弦值為.
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【題目】如圖,四邊形是邊長為2的菱形,且.四邊形是平行四邊形,且.點,在平面內(nèi)的射影為,,且在上,四棱錐的體積為2.
(1)求證:平面平面;
(2)在上是否存在點,使平面?如果存在,是確定點的位置,如果不存在,請說明理由.
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【題目】若方程所表示的曲線為,則有以下幾個命題:
①當時,曲線表示焦點在軸上的橢圓;
②當時,曲線表示雙曲線;
③當時,曲線表示圓;
④存在,使得曲線為等軸雙曲線 .
以上命題中正確的命題的序號是_____.
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【題目】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是C1D1,CC1的中點,則異面直線AE與BF所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
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【題目】微信已成為人們常用的社交軟件,“微信運動”是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.手機用戶可以通過關(guān)注“微信運動”公眾號查看自己每天行走的步數(shù),同時也可以和好友進行運動量的PK或點贊.現(xiàn)從小明的微信朋友圈內(nèi)隨機選取了50人(男、女各25人),并記錄了他們某一天的走路步數(shù),并將數(shù)據(jù)整理如下表:
步數(shù) 性別 | 0~3000 | 3001~6000 | 6001~9000 | 9001~12000 | >12000 |
男 | 1 | 1 | 3 | 15 | 5 |
女 | 0 | 4 | 11 | 8 | 2 |
若某人一天走路的步數(shù)超過9000步被系統(tǒng)評定為“積極型”,否則被系統(tǒng)評定為“懈怠型”。
(1)利用樣本估計總體的思想,估計小明的所有微信好友中每日走路步數(shù)超過12000步的概率;
(2)根據(jù)題意完成下面的2×2列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有99.5%的把握認為“評定類型”與“性別”有關(guān)?
積極型 | 懈怠型 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
附:,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】據(jù)歷史記載,美日在中途島(Midway)海戰(zhàn)前,美方截獲了日方密碼電報,據(jù)美方已破譯的密碼得知,日方將向某島進行軍事活動,但關(guān)鍵含有地點的部分卻被日方換成了另一種密碼.經(jīng)專家研究,估計是一種密匙密碼,且密匙為3位.所謂密匙密碼是指:將一段英文字母的明文(未加密前原文)經(jīng)過對某一組數(shù)字(即密匙)的變換,改變成了另一組英文字母成為密文(加密后的文字)例如:明文: (不計空格,不計大小寫)在密匙為:1 9 2的條件下,變換過程如下圖所示:
s | t | u | d | e | n | t |
1 | 9 | 2 | 1 | 9 | 2 | 1 |
t | c | w | e | n | p | u |
則密文為:,試根據(jù)上面信息回答下面問題:
(1)在密匙為111的條件下,填寫下表,并寫出密文;
s | t | u | d | e | n | t |
密文____________________.
(2)若請?zhí)顚懴卤,并寫出密匙?/span>
s | t | u | d | e | n | t |
密匙為_____________.
(3)若下面即是那段包含地點(Midway)的破譯不出的密文:,且此段密文也是3位密匙加密,試填寫下表,寫出密匙,并將此段密文翻譯成明文.(不必證明,寫出明文即可)
c | w | b | c | f | s | o | l | l | y | d | g |
密匙為___________,明文為_________.
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【題目】如圖①在直角梯形ABCP中,,,,,E,F,G分別是線段PC,PD,BC的中點,現(xiàn)將折起,使平面平面ABCD如圖②.
(1)求證:平面EFG;
(2)求二面角G—EF—D的大小.
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