Question

【題目】如圖，四邊形是邊長為2的菱形，且.四邊形是平行四邊形，且.點，在平面內的射影為，，且在上，四棱錐的體積為2.

（1）求證：平面平面；

（2）在上是否存在點，使平面？如果存在，是確定點的位置，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是靠近點的四等分點，理由見解析

【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理，證明平面，再由面面垂直的判定定理，即可證明結論成立；

（2）先由四棱錐的體積求出，得出，即點是靠近點的四等分點，延長交于點，在梯形內，過作的平行線交于，則點即為所求，再由，即可確定點的位置.

（1）點在平面內的射影為，

平面，平面，

，且平面，平面，

又四邊形是平行四邊形，

平面，平面平面，，

四邊形是菱形，，，且，

平面，又平面，平面平面.

（2）假設在上是存在點，使平面，

四棱錐的體積為2，即，

，又，，即點是靠近點的四等分點.

延長交于點，在梯形內，過作的平行線交于，

則點即為所求.

，即點是靠近點的四等分點.