Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的極值；

（2）對于曲線上的不同兩點，如果存在曲線上的點，且使得曲線在點處的切線，則稱為弦的伴隨直線，特別地，當時，又稱為的—伴隨直線．

①求證：曲線的任意一條弦均有伴隨直線，并且伴隨直線是唯一的；

②是否存在曲線，使得曲線的任意一條弦均有—伴隨直線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結論；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）…………………………………… 2分

當，，函數在內是增函數，

∴函數沒有極值。 ……………………………… 3分

當時，令，得。

當變化時，與變化情況如下表：

	＋	0	－
	單調遞增	極大值	單調遞減

∴當時，取得極大值。

綜上，當時，沒有極值；

當時，的極大值為，沒有極小值。 ……………5分

（Ⅱ）（ⅰ）設是曲線上的任意兩點，要證明

有伴隨切線，只需證明存在點，使得

，且點不在上。 ……………………7分

∵，即證存在，使得，即成立，且點不在上。 …………………8分

以下證明方程在內有解。

記，則。

令，

∴，

∴在內是減函數，∴。

取，則，即。……9分

同理可證。∴。

∴函數在內有零點。

即方程在內有解。………………10分

又對于函數取，則

可知，即點Q不在上。

是增函數，∴的零點是唯一的，

即方程在內有唯一解。

綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。…… 11分

（ⅱ）取曲線C：，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。

證明如下：設是曲線C上任意兩點，

則，

又，

即曲線C：的任意一條弦均有伴隨切線。

【解析】略