【題目】已知函數(shù)f(x)= -lnx-.
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求證:lnx≥-
(Ⅲ)判斷曲線y=f(x)是否位于x軸下方,并說明理由.
【答案】(Ⅰ)(-1)x-y-+1=0;(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)函數(shù)求導(dǎo)得切線斜率為f’(1)= -1,再利用直線的點(diǎn)斜式求解即可;
(Ⅱ)要證明lnx≥-,(x>0)”等價(jià)于“xlnx≥-”,設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,求導(dǎo)結(jié)合單調(diào)性得g()即可證得;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知lnx≥,所以f(x)≤- (),求導(dǎo)結(jié)合單調(diào)性得k(x)≤k(1)=0恒成立,即可證得.
試題解析:
函數(shù)的定義域?yàn)?/span>(0,+∞),
f’(x)=- -+
(Ⅰ)f’(1)= -1,又f(1)=-
曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為
y+=(-1)x-+1.
即(-1)x-y-+1=0.
(Ⅱ)“要證明lnx≥-,(x>0)”等價(jià)于“xlnx≥
設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx.
令g’(x)=1+lnx=0,解得.
x | (0, ) | () | |
g(x) | - | 0 | + |
g(x) | 遞減 | 遞增 |
因此,函數(shù)g(x)的最小值為g()=-,故xlnx≥.
即lnx≥.
(Ⅲ)曲線y=f(x)位于x軸下方.理由如下:
由(Ⅱ)可知lnx≥,所以f(x)≤-= ().
設(shè)k(x)= ,則k’(x)=
令k’(x)>0得0<x<1;令k’(x)<0得x>1.
所以k(x)在(0,1)上為增函數(shù),(1,+∞)上為減函數(shù).
所以當(dāng)x>0時(shí),k(x)≤k(1)=0恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),k(1)=0.
又因?yàn)?/span>f(1)=- <0,所以f(x)<0恒成立.
故曲線y=f(x)位于x軸下方.
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【題目】已知函數(shù).
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(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由. (參考數(shù)據(jù): , )
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【題目】已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線方程為。
(1)求、的值;
(2)如果當(dāng),且時(shí), ,求的取值范圍。
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(1)將表示為的函數(shù);
(2)試確定,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用。
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