【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,證明:函數(shù)在上單調(diào)遞減;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)?若存在,求實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由. (參考數(shù)據(jù): , )
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) .
【解析】試題分析:(I);求導(dǎo)得,只需利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最大值,從而證明即可得結(jié)論;(II)討論時(shí), 時(shí)兩種情況,分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,排除不合題意的情況,從而可得使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)的實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)函數(shù)的定義域是.
求導(dǎo)得.
設(shè),則與同號.
所以,若,則對任意恒成立.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
又,
所以當(dāng)時(shí),滿足.即當(dāng)時(shí),滿足.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.
(Ⅱ)①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減.
由,又, 時(shí), ,
取,則,
所以一定存在某個(gè)實(shí)數(shù),使得.
故在上, ;在上, .
即在上, ;在上, .
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.此時(shí)函數(shù)只有1個(gè)極值點(diǎn),不合題意,舍去;
②當(dāng)時(shí),令,得;令,得,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
故函數(shù)的單調(diào)情況如下表:
0 | + | ||
極小值 |
要使函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),則需滿足,即,
解得又, ,
所以.
此時(shí), ,
又, ;
綜上,存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù), 為直線的傾斜角). 以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系. 圓C的極坐標(biāo)方程為,設(shè)直線l與圓C交于兩點(diǎn).
(Ⅰ)求角的取值范圍;
(Ⅱ)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
在平面直角坐標(biāo)系,已知曲線(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為。
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn)且與直線平行的直線交于, 兩點(diǎn),求點(diǎn)到, 的距離之積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形,且其周長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為,若點(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= -lnx-.
(Ⅰ)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)求證:lnx≥-
(Ⅲ)判斷曲線y=f(x)是否位于x軸下方,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中, , , .
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若,在棱上是否存在點(diǎn),使得二面角的大小為,若存在,求的長,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量,,
(1)求函數(shù)的最小正周期及取得最大值時(shí)對應(yīng)的x的值;
(2)在銳角三角形ABC中,角A、B、C的對邊為a、b、c,若,求三角形ABC面積的最大值并說明此時(shí)該三角形的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)判斷曲線是否位于軸下方,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x),若f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上均有零點(diǎn),則稱函數(shù)f(x)為“含界點(diǎn)函數(shù)”,則下列四個(gè)函數(shù)中,不是“含界點(diǎn)函數(shù)”的是( )
A. f(x)=x2+bx-1(b∈R) B. f(x)=2-|x-1|
C. f(x)=2x-x2 D. f(x)=x-sin x
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