Question

已知函數(shù).
（1）若曲線經(jīng)過點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；
（2）在（1）的條件下，試求函數(shù)（為實(shí)常數(shù)，）的極大值與極小值之差；
（3）若在區(qū)間內(nèi)存在兩個不同的極值點(diǎn)，求證：.

Answer 1

（1）
（2）當(dāng)或時，；
當(dāng)時，；
（3）.

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，明確曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,建立方程
，再根據(jù)曲線經(jīng)過點(diǎn)，得到方程，解方程組即得所求.
（2）利用“表解法”，確定函數(shù)的極值，注意討論或及，的不同情況；
（3）根據(jù)在區(qū)間內(nèi)存在兩個極值點(diǎn)，得到，
即在內(nèi)有兩個不等的實(shí)根．
利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)建立不等式組 求的范圍.
試題解析：（1），
直線的斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為,
 ①
曲線經(jīng)過點(diǎn)， ②
由①②得：              3分
（2）由（1）知：，，, 由，或.
當(dāng)，即或時，，，變化如下表

	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

由表可知：
    5分
當(dāng)即時，，，變化如下表

	-	0	+	0	-
		極小值		極大值

由表可知：
   7分
綜上可知：當(dāng)或時，；
當(dāng)時，       8分
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824034958905495.png" style="vertical-align:middle;" />在區(qū)間內(nèi)存在兩個極值點(diǎn) ，所以，
即在內(nèi)有兩個不等的實(shí)根．
∴            10分
由 （1）+（3）得：，           11分
由（4）得：，由（3）得：，
，∴．
故               13分