Question

設(shè)函數(shù).
（1）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值．

Answer 1

（1）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為；（2）若， 在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）整數(shù)的最大值為2.

試題分析：（1）求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程，只需求出斜率即可，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，因此對函數(shù)求導(dǎo)，得，求出的斜率，由點(diǎn)斜式可得切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)中含有字母，故應(yīng)按的取值范圍進(jìn)行分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，給出單調(diào)區(qū)間；（3）由題設(shè)條件結(jié)合（2），將不等式，在時(shí)成立轉(zhuǎn)化為成立，由此問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題，求導(dǎo)，確定出函數(shù)的最小值，即可得出的最大值．本題解題的關(guān)鍵一是應(yīng)用分類的討論的方法，第二是化歸思想，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題．
試題解析：（1），，
函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為
（2）.
若，則恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
若，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（3）由于，所以，
故當(dāng)時(shí)，①
令，則
函數(shù)在上單調(diào)遞增，而
所以在上存在唯一的零點(diǎn)，故在上存在唯一的零點(diǎn).
設(shè)此零點(diǎn)為，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以，在上的最小值為.由可得
所以，由于①式等價(jià)于.
故整數(shù)的最大值為2.