Question

【題目】直線l：x﹣ty+1＝0（t＞0）和拋物線C：y2＝4x相交于不同兩點(diǎn)A、B，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，拋物線C的焦點(diǎn)為F，以MF為直徑的圓與直線l相交另一點(diǎn)為N，且滿足|MN||NF|，則直線l的方程為_____.

Answer 1

【答案】xy+1＝0

【解析】

求得拋物線的焦點(diǎn)F，聯(lián)立直線l和拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M的坐標(biāo)，設(shè)N（ty0﹣1，y0），由NF⊥l，結(jié)合兩直線垂直的條件，可得t，y0的關(guān)系式，再由兩點(diǎn)的距離公式，化簡整理可得t，可得所求直線方程.

y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0），聯(lián)立x﹣ty+1＝0與y2＝4x，可得y2﹣4ty+4＝0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

可得y1+y2＝4t，則中點(diǎn)M（2t2﹣1，2t），

設(shè)N（ty0﹣1，y0），由NF⊥l，可得t，即有y0，

由|MN||NF|可得，

即為，

結(jié)合，整理可得t6＝27，解得t，

可得直線l的方程為xy+1＝0.

故答案為：xy+1＝0.