Question

【題目】已知函數(shù) 且.

(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)當(dāng)時(shí)，求證：；

(3)討論函數(shù)的極值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

（I）求得切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，由此求得切線方程.（II）將原不等式轉(zhuǎn)化為成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值為零，由此證得不等式成立.（III）對(duì)求導(dǎo)后，對(duì)分成兩類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，討論得出函數(shù)的極值.

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，．所以．

因?yàn)?/span>，

所以曲線在處的切線方程為．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．

函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

不等式成立 成立 成立.

設(shè) ，

則．

當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：

	＋		－
	↗	極大值	↘

所以．

因?yàn)?/span>，所以，

所以．

（Ⅲ）求導(dǎo)得. 令，因?yàn)?/span>可得．

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>.當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：

	＋		－
	↗	極大值	↘

此時(shí)有極大值，無極小值．

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，當(dāng)變化時(shí)，，變化情況如下表：

	－		＋
	↘	極小值	↗

此時(shí)有極小值，無極大值．